Determinar el número de pelotas en una caja

Question

Me estoy enfrentando problemas solución de esta pregunta y me gustaría un poco de ayuda:

Una caja contiene n bolas, donde sólo 2 son de color blanco y el resto son de color rojo. Una muestra aleatoria de 4 bolas se dibuja sin reemplazo. Se sabe que la probabilidad de que las 2 bolas blancas están en la muestra, es 6 veces mayor que la probabilidad de que no hay bolas blancas están en la muestra. Calcular el n.

Hice como que:

$$6* (\frac{2}{n} *\frac{1}{n-1} * \frac{n-2}{n-2} * \frac{n-3}{n-3}) = (\frac{n-2}{n} *\frac{n-3}{n-1} * \frac{n-4}{n-2} * \frac{n-5}{n-3}) => n = 8 $$

Pero, de acuerdo a la respuesta de esta pregunta, n = 6.

Estoy tratando de encontrar mi error. Alguien me puede ayudar?

Answer 1

Tu error está en que usted está asumiendo que las dos bolas blancas son recogidos en primer lugar, cuando en realidad no se $\binom{4}2=6$ pares de posiciones en que podrían ser elegido. Por lo tanto, su lado izquierdo es demasiado grande por un factor de $6$. (Estoy ignorando el $8$ sobre el final, ya que es claramente imposible.)

Creo que es un poco más fácil contar los resultados mediante el uso de combinaciones. Hay $\binom{n-2}2$ muestras que contienen bolas blancas, y $\binom{n-2}4$ que no contienen la bola blanca. La probabilidad de obtener una muestra de cualquier tipo es proporcional al número de posibles muestras de ese tipo, por lo $\binom{n-2}2=6\binom{n-2}4$. La expansión de este rendimientos

$$\frac{(n-2)(n-3)}2=\frac{(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)}4$$

y, a continuación,$2=(n-4)(n-5)$. La solución positiva de esta ecuación cuadrática es $n=6$.

Answer 2

Se wat usted lo está haciendo, el orden en que se dibujan las bolas hace la diferencia (primero dibujamos dos bolas blancas y dos bolas rojas).

Más bien, piensa que es como sigue:

• Cuántas combinaciones posibles de cuatro pelotas hay? Que sería de $\binom{n}{4}$.

• Cuántas combinaciones posibles de cuatro bolas, dos de los cuales son de color blanco, hay? Además, usted debe tomar la única $2$ bolas blancas y también a $2$ bolas rojas del resto de las $n-2$ bolas, para un total de $\binom{n-2}{2}$.

• Cuántas combinaciones posibles de cuatro bolas, todos los cuales son de color rojo, hay? Usted debe tomar $4$ bolas de las $n-2$ bolas de color rojo, para un total de $\binom{n-2}{4}$.

Por lo tanto, la probabilidad de sacar dos bolas blancas y dos bolas rojas es

$$\frac{\binom{n-2}{2}}{\binom{n}{4}}=\frac{12}{n(n-1)}$$

Y la probabilidad de sacar cuatro bolas rojas es

$$\frac{\binom{n-2}{4}}{\binom{n}{4}}=\frac{(n-4)(n-5)}{n(n-1)}$$

De modo que $12=6(n-4)(n-5)$. Se puede comprobar que $6$ es el único entero positivo de la solución.