Derivadas de Gateaux y Frechet y nociones relacionadas

Question

Dejemos que $X$ y $Y$ sean espacios vectoriales reales normados, y $f : X \to Y$ un mapa.

Digamos que:

G) $f$ es diferenciable por Gateaux en $x_0 \in X$ si para todas las direcciones $v \in X$ el límite $f'(x_0)(v) := \lim_{t \searrow 0} t^{-1} [f(x_0 + t v) - f(x_0)]$ existe en $Y$ .

F) $f$ es diferenciable de Frechet en $x_0 \in X$ si existe un operador lineal acotado $A : X \to Y$ tal que para todo $h \in X$ : $f(x+h) - f(x) = A h + o(\|h\|_{X})$ como $h \to 0$ en $X$ . Eso es un poco Landau-oh; el término residual $o(\|h\|_{X})$ se supone que está acotado en términos de $\|h\|_X$ sólo, uniformemente en $h / \|h\|_X$ .

Fijar $x_0 \in X$ .

Una vez que sabemos que $f$ es diferenciable por Gateaux en $x_0$ hay varios obstáculos para que sea diferenciable de Frechet en $x_0$ .

Supongamos que $f$ es diferenciable por Gateaux en $x_0$ y el diferencial de Gateaux $v \mapsto f'(x_0)(v)$ es uno de los siguientes:

0) exactamente la derivada de Frechet.

1) lineal pero no continua en $v$ .

2) continua pero no lineal en $v$ .

3) lineal y continua en $v$ .

Supongamos que la derivada de Gateaux $f'(x) : X \to Y$ es un funcional lineal acotado para cada $x \in X$ y $f'$ es uno de los siguientes:

4) continua en $x_0$ : $f'(x) \to f'(x_0)$ en la norma del operador siempre que $x \to x_0$ en $X$ .

5) continua en $x_0$ débilmente: $f'(x) \to f'(x_0)$ en la norma del operador siempre que $x$ converge débilmente a $x_0$ .

6) débilmente continua en $x_0$ para cada $v \in X$ fijo, se tiene $f'(x)(v) \to f'(x_0)(v)$ siempre que $x \to x_0$ en $X$ .

Puede responder a cualquier subconjunto de las siguientes preguntas preguntas .

a) ¿Alguna de estas nociones es redundante?

b) ¿Es alguna de esas nociones redundante si $X$ y $Y$ son espacios de Banach?

Proporcione ejemplos, si existen, para:

c): 3) pero no 0).

d): 6) pero no 5).

e): 4) pero no 5).

f): $x \mapsto f'(x)$ es $C^1$ pero no 0).

g): donde se encuentra 5).

h): donde se produce el 6).

Supongamos que en 4)--6), $f$ es diferenciable de Frechet en cada $x$ .

i) ¿En qué caso es $f$ necesariamente diferenciable de Frechet en $x_0$ ?

j) Igual que i), pero asumiendo $X$ y $Y$ son espacios de Banach.

Answer 1

He aquí algunas respuestas

c): 3) pero no 0) - Esto no es posible. Un operador lineal continuo es su propia derivada de Frechet. Cuando la derivada de Frechet existe, coincide con la derivada de Gateaux.

f): 4) pero no 5) - Esto no es posible. Cuando la derivada en sentido normal existe, entonces las derivadas de Frechet y Gateaux existen y coinciden

Si puedes acceder al libro 'Nonlinearity and Functional Analysis, Berger, 1977' hay una buena introducción a la diferenciabilidad de Frechet y Gateaux. En la sección 2.1 se ofrece un enunciado que será útil para algunas de las preguntas que has planteado:

'Si el derivado de Gateaux $df(x_{0},h)$ es lineal en $h$ (es decir $df(x_{0},\cdot) \in L(X,Y)$ y es continua en $x$ como un mapa de $X \rightarrow L(X,Y)$ entonces $f$ es diferenciable de Frechet en $x_{0}$ '. La derivada de Frechet y la de Gateaux coinciden en este caso

Siento no haber respondido a ninguna de las otras preguntas, pero espero que esto ayude

Answer 2

Recogeré las respuestas en este post.

c): 3) pero no 0).

Toma $X$ como el espacio de las secuencias finitamente soportadas con el $|\cdot|_\infty$ norma, y $f : X \to \mathbb{R}$ , $x \mapsto \sum_{n \in \mathbb{N}} n x_n^2$ . Entonces $f'(0) = 0$ es el diferencial de Gateaux. Pero $f(0+h) - f(0) \geq 1$ para $h = r e_n$ , donde $n r^2 \geq 1$ y $|h|_\infty = r > 0$ puede ser arbitrariamente pequeño. Esto desafía la existencia de la derivada de Frechet en $0$ .

f): $x \mapsto f'(x)$ es $C^1$ pero no 0).

De la referencia señalada por Keeran Brabazon (Berger, Nonlinearity and functional analysis, 1977): Si la diferencial de Gateaux $f'$ es continua en $x_0$ como un mapeo $X \to L(X; Y)$ siendo este último el espacio de los operadores lineales acotados $X \to Y$ entonces $f$ es diferenciable de Frechet en $x_0$ . Así que f) no es posible.

i)+4): ver f).