¿Cuál es el enfoque correcto para $\int\frac{x^{4}+1}{x^{6}+1}dx$?

Question

Yo estaba buscando complicado integrales para dar algo más difícil de probar, y me topé con [este] (Ignorando la definitiva parte ya que estoy interesado en la solución de la integral):

$$\int\frac{x^{4}+1}{x^{6}+1}dx$$

Mi primera reacción fue intentar substituir $[t=x^{2}; \frac{dx}{dt}=\frac{1}{2\sqrt{t}}]$, y todo se salió de los rieles de allí:

$$\int\frac{t^2}{t^3+1}\frac{1}{2\sqrt{t}}dt+\int\frac{1}{t^3+1}\frac{1}{2\sqrt{t}}dt$$

después de eso traté de llegar a $3t^2$ en la primera integral, pero es inútil, ya que es un producto y no una adición. También he tratado de integración por partes, pero me da cosas como $-\frac{2}{(2\sqrt{t})^3}$, que hace que todo peor de lo que era antes. No hay identidades trigonométricas involucrados, y no estoy seguro de que puedo aplicar racional de la integración desde $x^6+1$ no tiene raíces hasta donde yo sé. También he probado otras sustituciones, como $[t=x^3]$, pero no he sido capaz de ir más allá con aquellos.

Estoy totalmente de ideas, he comprobado todos los libros que tengo disponible para pistas o métodos que yo podría haber perdido, pero no he encontrado una cosa.

Lo que me estoy perdiendo? Es evidente que hay un enfoque que he perdido, yo realmente no creo que la sustitución era el camino a seguir. Alguna pista acerca de qué método usar? (Yo no estoy buscando la solución)

Answer 1

Una alternativa, no hay necesidad de fracciones parciales.

A partir de la misma manera como laboratorio bhattacharjee, tenga en cuenta que $x^6 + 1 \equiv (x^2 + 1)(x^4 - x^2 + 1):$

$$\begin{align*} \int \frac{x^4 + 1}{x^6 + 1} dx = \int\frac{x^4 - x^2 + 1 + x^2}{(x^2 +1)(x^4 - x^2 + 1)} dx & = \int\frac{x^4 - x^2 + 1}{(x^4 - x^2 + 1)(x^2 + 1)} dx + \int\frac{x^2}{x^6 + 1} dx \\ & = \int\frac{dx}{x^2 + 1} + \int\frac{x^2}{x^6 + 1} dx \\ & = \arctan x + \tfrac{1}{3} \arctan x^3 + \mathcal{C}\end{align*}$$

Answer 2

Como $\displaystyle x^6+1=(x^2+1)(x^4-x^2+1)$

y $x^4-x^2+1=(x^2+1)^2-3x^2=(x^2+1-\sqrt3x)(x^2+1+\sqrt3x)$

El uso de Parcial De La Fracción De Descomposición,

podemos escribir $$\frac{x^4+1}{x^6+1}=\frac{Ax+B}{x^2+1}+\frac{Cx+D}{x^2-\sqrt3x+1}+\frac{Ex+F}{x^2+\sqrt3x+1}$$ where $a,B,C,D,E,F$ son constantes arbitrarias

Ahora multiplique ambos lados por $x^6+1$ y comparar los coeficientes de los diferentes poderes de $x$ encontrar $A,B,C,D,E,F$

De nuevo como $x^2-\sqrt3x+1=\left(x-\frac{\sqrt3}2\right)^2+\left(\frac12\right)^2$

mediante sustitución Trigonométrica, establezca $x-\frac{\sqrt3}2=\frac12\tan\phi$

Asimismo, para $x^2+\sqrt3x+1$