Determinar el $f^{(5)}(0)$ sin computar cualquier derivados?

Question

Determinar el $f^{(5)}(0)$ sin computar cualquier derivados? ¿Cómo acercarse a un problema como este? Creo que el uso de maclaurin/series de taylor, pero no estoy completamente seguro?

$f(x)=x\ln(1+x)$

$f(x)=x\cos x$

Answer 1

$$f(x) = x \log{(1+x)} = \sum_{k=1}^{\infty} (-1)^{k+1} \frac{x^{k+1}}{k}$$

Para cualquier suficientemente función derivable

$$f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k$$ así que

$$\frac{f^{(5)}(0)}{5!} = -\frac{1}{4} \implies f^{(5)}(0) = -30$$

Hacer una cosa similar para

$$f(x) = x \cos{x} = \sum_{k=0}^{\infty} (-1)^{k} \frac{x^{2 k+1}}{(2 k)!}$$

Answer 2

Cuando usted tiene la serie de taylor $$\sum_{k=0}^\infty a_k x^k$$ usted sabe el $n$-ésima derivada es $$f^{(k)}(0)=a_k\cdot k! $$

Answer 3

Usted puede intentar el uso de Leibniz general del producto regla:

$$ (fg)^{(n)} = \sum_{r = 0}^{n} \binom{n}{r} f^{(r)} g^{(n-r)}$$

donde utilizamos $h^{(m)}$ para denotar la $m^{th}$ derivado de la $h$.

Si $f$ $g$ tiene fácil derivados, usted puede calcular la derivada del producto de su (segundo problema).

Si $fg$ $g$ son funciones cuyas derivadas son fácilmente calculada, esto permite que usted para darle una recurrencia de la computación en la $f^{(k)}(0)$ en términos de$f^{(k-1)}(0), f^{(k-2)}(0)$, por lo que usted realmente no necesita simbólicamente calcular la totalidad de los derivados de la $f$.

Esto puede ser útil si usted no sabe la serie de Taylor antes de la mano: se obtiene un algoritmo para calcular!

Por ejemplo, considere la posibilidad de la generación de la función de los números de Bernoulli

$$b(z) = \frac{z}{e^z - 1} = \sum_{n=0}^{\infty} B_n \dfrac{z^n}{n!}$$

Usted puede aplicar la idea de aplicar el producto en general la regla de a $b(z)(e^z -1)$ a calcular los coeficientes de $B_n$.