Evaluar $\int\frac{1}{1+(\tan x)^\sqrt2}\ dx$

Question

¿Cómo se puede evaluar $$\int\frac{1}{1+(\tan x)^\sqrt2}\ dx$$ se Puede mantener esto en el Cálculo de 1 nivel, por favor? Por favor, incluya una completa solución si es posible. He intentado esto todo lo que sabía y no podía llegar.

Answer 1

De hecho, esta fue una de Putnam pregunta. El $\sqrt{2}$ es bastante irrelevante. Aviso

$$I=\int_0^\pi\frac{dx}{1+\tan(x)^{\sqrt2}}=\int_\pi^0\frac{d(\frac{\pi}{2}-u)}{1+(\tan(\frac{\pi}{2}-u))^{\sqrt2}}=\int_0^\pi\frac{du}{1+\cot(u)^{\sqrt2}}$$

y

$$\frac{1}{1+\tan(x)^{\sqrt2}}=\frac{\cos(x)^{\sqrt2}}{\cos(x)^{\sqrt2}+\sin(x)^{\sqrt2}},\qquad\frac{1}{1+\cot(u)^{\sqrt2}}=\frac{\sin(u)^{\sqrt2}}{\sin(u)^{\sqrt2}+\cos(u)^{\sqrt2}}.$$

así

$$2I=\int_0^\pi\frac{dv}{1+\tan(v)^{\sqrt2}}+\int_0^\pi\frac{dv}{1+\cot(u)^{\sqrt2}}$$

$$=\int_0^\pi\left[\frac{\cos(v)^{\sqrt2}}{\cos(v)^{\sqrt2}+\sin(v)^{\sqrt2}}+\frac{\sin(v)^{\sqrt2}}{\sin(v)^{\sqrt2}+\cos(v)^{\sqrt2}}\right]dv=\int_0^\pi\frac{\cos(v)^{\sqrt2}+\sin(v)^{\sqrt2}}{\cos(v)^{\sqrt2}+\sin(v)^{\sqrt2}}dv $$

que es $\int_0^\pi1dv=\pi$. En definitiva, esta es una simetría argumento.

Answer 2

Esta es una de Putnam problema de años atrás. No hay Calc I solución de la que soy consciente. Usted necesidad de poner un parámetro (variable) en lugar de $\sqrt 2$ y, a continuación, diferenciar el resultado de la función del parámetro (esto se suele llamar "la diferenciación bajo el signo integral"). La mayoría de los estudiantes no aprenden esto en Calc III!