¿Por qué la energía debe tener un límite inferior pero no un límite superior?

Question

Esta pregunta parece ingenua, pero realmente quiero alguna forma intuitiva de entender la razón.

Dejando de lado algunas explicaciones triviales, sólo tengo una idea al respecto: el estado de vacua.

Consideremos el problema del oscilador armónico en mecánica cuántica, existe el creador (operador) $a^\dagger$ y el aniquilador (operador) $a$ . El límite inferior de la energía existe debido a que hay un estado vacuo que es invariante bajo el aniquilador $\left|0\right>$ :

$$ a \left|0\right> = 0$$

(mientras que no existe tal estado para el creador) por lo que el estado de menor energía sería $\left|0\right>$ - un límite inferior.

¿Hay alguna explicación o principio más general que exija la existencia de un límite inferior de energía?

¿Existe algún caso en el que haya un estado de vacuidad superior (o debería decir: estado de saturación)?

Answer 1

Se me ocurren dos razones por las que necesitamos un límite inferior, una estadística y otra inuitiva.

Primero, lo intuitivo: Los operadores de aniquilación/creación representan la adición/eliminación de partículas (o excitaciones, o lo que sea). El estado de vacío como estado de menor energía representa, obviamente, el estado vacío del que no se pueden extraer más partículas. También está claro (en el caso de los bosones) que puedo seguir añadiendo partículas y nada me impide hacerlo, así que un límite superior de energía significaría que hay un estado $|\text{max}\rangle$ en el que el operador de creación actúa como $a^\dagger|\text{max}\rangle = 0$ . Esto es, desde un punto de vista intuitivo, obviamente un sinsentido. ¿Por qué debería añadiendo ¿una partícula destruye todas las demás? ¿Dónde ha ido a parar toda la energía? Exigir un límite superior general para las energías es, por tanto, una mala idea. Quiero subrayar de nuevo que esto es sólo una heurística. No pretende traducirse directamente en un argumento riguroso].

Ahora, la estadística. Sabemos que la evolución temporal conduce a los sistemas hacia el estado con la menor energía (libre). Si el Hamiltoniano no está acotado por debajo, no hay un mínimo global de la energía, y por tanto sólo hay estados metaestables. Pero como no existe un estado base, un sistema de este tipo podría descender a niveles de energía cada vez más bajos. En consecuencia, un sistema no acotado por debajo sería capaz de irradiar energía infinitamente. Esto es obviamente un sinsentido, ningún sistema físico puede mantener una cantidad infinita de accesible energía. Así, aunque la física puede describir un sistema de este tipo, su comportamiento en la evolución del tiempo no es algo que observemos en el mundo real.

Ambos argumentos no prohíben que haya sistemas con límites superiores. El ejemplo más sencillo son los sistemas de espín puro: Tome un número de partículas con espín y póngalas en un campo magnético (constante). Ahora el estado de energía más bajo es cuando todos los espines se invierten en un sentido, y el estado de energía más alto es cuando todos los espines se invierten en el otro sentido. No se puede añadir más energía a este sistema, está naturalmente limitado por debajo y por encima.