Subgroup of

Question

Dejando $P$ $p$- $\Phi(P)$ ser el Frattini subgrupo de $P$ (la intersección de todas las máximas de los subgrupos), el reto es "Demostrar que el $P/N$ es elemental abelian implica $\Phi(P)≤N$" (de Dummit y Foote 6.1.26 b). El ejercicio anterior, ya se ha establecido el $P/\Phi(P)$ es elemental abelian desde $P'≤\Phi(P)$$\langle~x^p~|~x∈P~\rangle≤\Phi(P)$.

El primer paso que di aquí fue demostrando $P/N$ es elemental abelian si y sólo si $\langle~x^p,~P'~|~x∈P~\rangle ≤ N$, por lo que parecía natural para demostrar que $\Phi(P)=\langle~x^p,~P'~|~x∈P~\rangle$. Creo $\Phi(P)/P'=(P/P')^p$ (donde $(P/P')^p$ es la imagen de la $p$-mapa de poder) implicaría $\Phi(P)P'=\langle~x^p~|~x∈P~\rangle P'=\langle~x^p,~P'~|~x∈P~\rangle$, lo que implicaría $\Phi(P)=\langle~x^p,~P'~|~x∈P~\rangle$ como se desee, pero no puedo encontrar mucho camino para seguir adelante. El $\supseteq$ dirección es clara, pero no puedo encontrar la inversa de contención. Voy a todo el camino correcto acerca de esto?

Answer 1

Un (enorme) sugerencia: probar que bajo las hipótesis, tenemos que

$$\Phi(P)=P^p[P,P]$$

Con lo anterior, y con la parte $\,P^p\le N\,$ que casi lo tienes ya, lo que queda es $\,P'\le N\,$ , y el abelian parte se encarga de este trabajo.

Answer 2

Me gustaría probar que si $P/N$ es elemental abelian, a continuación, $N$ es la intersección de la máxima subgrupos de $G$ que la contienen.