Weierstrass y Heine-Borel teoremas en Rudin 3

Question

Esta es una pregunta acerca de la lógica de los Teoremas de 2.41, 2.42 en Rudin 3ra Ed, que se trate de Heine-Borel y de Weierstrass propiedades de conjuntos de $R^k$, respectivamente.

Una versión rápida de mi pregunta es: no 2.41 (junto con 2.40, de los que depende) moot 2.42?

2.41. (Heine-Borel+) Si un conjunto E en $R^k$ tiene una de estas tres propiedades, que tiene a los otros dos: (a) E es cerrado y acotado; (b) E es compacto; (c) Todo subconjunto infinito de E tiene un punto límite en E.

2.42. (Weierstrass) Cada delimitada infinito subconjunto de $R^k$ tiene un punto límite en $R^k$.

El texto explica que 2.41(a) implica (b) implica (c) implica (a). Así que el único paso para ser suministrado para 2.42 es que un subconjunto acotado de $R^k$ es compacto (y por lo tanto cerrado, para incluirlo en el ámbito de 2.41).

Pero en ambos teoremas Rudin recurre a una prueba extrínseca (su 2.40) para mostrar que el "k-células" son compactos.

Creo (no estoy seguro) no es un teorema que indica que Heine-Borel implica Weierstrass (y a la inversa), pero H-B consta de 2,41(a) y (b), según Rudin la nota anterior 2.41. Me pregunto si, con la adición de 2,41(c), se tiene que demostrar de Weierstrass por separado?

Esta es una especie de maniático pregunta, sino una respuesta me puede ayudar a entender la relación entre estas ideas mejor. Gracias. EDITADO: por lo que la versión rápida de la pregunta incluye ref. a 2.40.

Answer 1

La conexión entre los temas es fuerte, pero no tan fuerte como el que actualmente creer. El problema es que un conjunto acotado de $\mathbb{R}^k$ no es necesariamente compacto: tomar la abra hasta llegar a la pelota en $\mathbb{R}^k$, o más en general, cualquier conjunto acotado en $\mathbb{R}^k$ que no está cerrado. El k-las células se invoca a decir que nuestra cerrado y acotado conjunto $E$ es un subconjunto de algunos de k-célula $I$, como es acotada. Sería suficiente para tomar $E$'s de cierre, pero este método también funciona: como k-células son compactos, 2.41 nos dice que todo subconjunto infinito de $I$ (que incluye el infinito subconjuntos de a $E$) tiene un punto límite en $I \subset \mathbb{R}^k$ (y no necesariamente $E$).

Examinando Rudin la instalación, tanto en el dado pruebas de Heine-Borel y de Weierstrass uso de las observaciones generales que infinitos subconjuntos de conjuntos compactos tienen un punto límite en el que el conjunto compacto, así como la compacidad de k-células y que los conjuntos cerrados de conjuntos compactos es compacto.

Answer 2

2.41 no trivializar 2.42, ya que no es necesariamente cierto que un subconjunto acotado de $\mathbb{R}^k$ es compacto. Por qué? Considere el siguiente conjunto:

$$\left\{\frac{1}{n} | n\in \mathbb{N}\right\}\subset \mathbb{R}$$

Este es limitada, pero no compacto. Por qué? $$\bigcup_{i\in\mathbb{N}} \left(\frac{1}{i+1/2},\frac{1}{i-1/2}\right)$$ es una cubierta abierta sin finito subcover. Así que usted realmente necesita tanto cerrado y acotado de compacta. Como resultado, usted tiene que proporcionar un argumento extra para obtener de 2.42 2.41 - un esquema de este tipo de argumento es el siguiente:

Cada delimitada infinito subconjunto $A\subset\mathbb{R}^k$ tiene un cierre de $A\cup \{\mathrm{limit points of A}\}=\overline{A}\subset\mathbb{R}^k$, que es también un almacén infinito subconjunto de $\mathbb{R}^k$. Pero $\overline{A}$ está cerrada, así que ya que también es acotado, es compacto por 2.41 (a)$\Rightarrow$(b). Entonces, podemos aplicar 2.41 (b)$\Rightarrow$(c) para ver que tal conjunto tiene un punto límite en $\overline{A}\subset\mathbb{R}^k$, por lo que cada delimitada infinito subconjunto de $\mathbb{R}^k$ tiene un punto límite en $\mathbb{R}^k$.