En lógica modal, es $\lnot\square P\equiv\lozenge\lnot P$?

Question

"Posiblemente" y "necesariamente" se parecen mucho a como "existe" y "para todos", pero, ¿la siguiente verdad: $\neg \square P \equiv \lozenge \neg P$ en la misma manera como $\neg\forall P \equiv \exists\neg P$ ?

A partir de la definición de "necesariamente" en mi libro, que $P$ debe ser verdadera en todos los mundos posibles, parece ser así.

Un rincón caso será si no hay mundos posibles. En este caso, el "necesariamente" es vacuously verdad, entonces su negación es falsa; al mismo tiempo, no hay mundos posibles en absoluto, así que no hay mundo donde la $\lnot P$ es posible, por lo que la mano derecha de la afirmación es falsa también.

Es esto así, o es mi razonamiento defectuoso?

Answer 1

Sí. Hay un convenio fuerte que $\Box$ $\Diamond$ son siempre mutuamente duales, incluso en especial a propósito de la lógica modal. Cuando el proposicional sustrato es clásica, esto implica que $\neg\Box\equiv \Diamond\neg$$\Box\neg\equiv\neg\Diamond$.

Por ejemplo, cuando se $\Box P \leftrightarrow \neg\Diamond\neg P$ es un axioma (o la definición de $\Box$ como una abreviatura), se obtiene de estas leyes, ya sea negando a ambos lados, o dejando $P$$\neg Q$, y a continuación, aplicar la doble negación de la eliminación.

Si se quiere definir un sistema con dos unario modal conectivas que son no relacionados de esta manera, uno tenía mejor que elegir un símbolo diferente para uno de ellos.

Answer 2

En la clásica lógica modal, □ y ◊ están definidos para ser De Morgan duales, y así la relación necesariamente tiene para todos los clásicos de la lógica modal, incluso los no-normal de la lógica modal.

En intuitionistic lógica modal, la dualidad entre las modalidades general, es más flexible y la relación en general no se sostiene. Normalmente en intuitionistic modal, la lógica, el significado de una modalidad no determina a la otra, pero las dos están estipuladas para satisfacer una relación, tales como tener una conexión de Galois.

Uno puede encontrar un ejemplo de un intuitionistic modal fórmula que satisface esta ecuación fácilmente. Clásica S5 es esencialmente equivalente a la de predicado monádico de la lógica, y intuitionistic predicado monádico lógica corresponde a un intuitionistic variante del S5, lo llaman S5i. A continuación, (□P)→◊P es un teorema de S5i iff (∀P)→∃P es un teorema de intuitionistic la lī ogica, que no lo es.