Soy un estudiante de ingeniería que durante los últimos 20 minutos trató de resolver esta integral impropia sin éxito .. me Podrían ayudar, por favor? La integral es una especie de fácil: $$ I =\int_3^{+\infty} \frac{2x-6}{(2x^2+9)(x^2 -2x)} \,dx$$
Después de algunos cálculos que he encontrado que la integral indefinida es $$ \frac 1{51}(17\ln|x| -3\ln|x-2| - 7\ln(2x^2 +9) +2 \sqrt 2 \arctan(\frac{\sqrt 2}3x) + C $$ Ahora debo continuar con el $$\lim_{x\to +\infty} f(x) $$ pero me parece que algunas de las dificultades.. Esta es la solución: $$ I =\frac{\sqrt 2}{51}(\pi -2 \arctan(\sqrt 2)) + \frac4{51}\ln(3) - \frac7{51} \ln(2) $$ No sé de donde me pongo mal porque si hago el límite, puedo conseguir $$\lim_{x\to +\infty} \frac 1{51}(17\ln|x| -3\ln|x-2| - 7\ln(2x^2 +9) +2 \sqrt 2 \arctan(\frac{\sqrt 2}3x) = \frac{\sqrt 2\pi}{51} $$ "porque arctan es más rápido que el logaritmo natural"... Pero quizás es aquí mi error.. estoy seguro de que he cometido un error en este límite... lo siento. Yo no he considerado algo. He hecho tantas límites que cuando me pongo mal, sé que ahah.. Gracias de antemano chicos! Disfrutar :)
EDITAR DESPUÉS DE LA SOLUCIÓN: Básicamente, gracias a Doug M y el resto de los miembros, comprendí que me había hecho un error ESTÚPIDO en el límite y así : $$\lim_{x\to +\infty} (17\ln|x| -3\ln|x-2| - 7\ln(2x^2 +9) = $$ $$\lim_{x\to +\infty} ln|\frac{x^{17}}{(x-2)^3(2x^2 +9)^7}|\simeq ln|\frac{x^{17}}{(2)^7(x)^{17} + O(x^{17})}|\simeq ln|\frac1{(2)^7}|\simeq -7ln(2)$$
Para el correcto todo límite es: $$\lim_{x\to +\infty} \frac 1{51}(17\ln|x| -3\ln|x-2| - 7\ln(2x^2 +9) +2 \sqrt 2 \arctan(\frac{\sqrt 2}3x) = \frac1{51}(\sqrt 2\pi - 7ln(2)) $$ Para continuar con este disparo integral (ya que si empieza algo en matemáticas, que tiene que ver a través de), necesito para evaluar la expresión en x = 3 y me sale: $$ \frac 1{51}(-4\ln(3) +2 \sqrt 2 \arctan(\sqrt 2))$$ Y así, FINALMENTE, la integral se convierte en: $$ I =\frac1{51}(\sqrt 2\pi - 7ln(2)) - [\frac 1{51}(-4\ln(3) +2 \sqrt 2 \arctan(\sqrt 2))] $$ Y yo tengo la solución :) $$ I =\frac{\sqrt 2}{51}(\pi -2 \arctan(\sqrt 2)) + \frac4{51}\ln(3) - \frac7{51} \ln(2) $$
