Cómo probar que existen infinitamente $(m,n)$ tal $[n\sqrt{p}]=\frac{1}{2}(3m^2-m)$

Question

Demostrar que: para cualquier número primo $p$, existen infinitos pares de números enteros positivos $(m, n)$ tal que $$[n\sqrt{p}]=\dfrac{3m^2-m}{2}$$ donde $[x]$ es el mayor entero no mayor que $x$

He aquí mi idea:

Suponga que $p=2$, luego $$[\sqrt{2}n]=\dfrac{3m^2-m}{2}$$ entonces es claro que para $m=n=1$ es así, y no podemos encontrar una infinidad de pares de $(m,n)$.

Suponga que $p=3$, y $$[\sqrt{3}n]=\dfrac{3m^2-m}{2}$$ dejamos $m=n=1$ y nosotros también no encontrar una infinidad de pares de $(m,n)$.

Pero para que una arbitraria $p$, lo puedo probar. Me pueden ayudar ?

Answer 1

Puede ser una exageración, pero aquí es una prueba utilizando el van der Corput diferencia teorema. Por lo menos tiene la ventaja de mostrar que el largo plazo de la proporción de $m$'s de las $n$ existe $1/\sqrt{p}$.

La ecuación es fácil demostrado ser equivalente a la desigualdad $$n -\frac{1}{\sqrt{p}} < u_m \leq n, \qquad \text{ where } u_m = \frac{1}{2\sqrt{p}}(3m^2 - m).$$

Por lo tanto el problema se reduce a mostrar que la secuencia de $u_m$ toma valores de modulo 1 en el intervalo de $(1-1/\sqrt{p},1]$ infinitamente a menudo. Para esto, es suficiente para mostrar que la secuencia es equidistributed modulo 1.

Por van der Corput del teorema, es suficiente para demostrar que esta para que la secuencia de $$v_m = u_{m + h} - u_m = \frac{1}{2\sqrt{p}}(3h^2 - h) + \frac{3h}{2\sqrt{p}} m$$ para cualquier entero $h > 0$. Pero esto es una progresión aritmética con irracional paso, por lo que el resultado es bien conocido en este caso.