¿Qué es álgebra exterior?

Question

Esta pregunta puede ser demasiado básico e incluso tonta, pero soy nuevo en álgebra exterior y leyendo Wikipedia.

Dadas $e_1, e_2,\cdots, e_n$ es una base estándar para un espacio vectorial $V$, ¿qué hace $e_1\wedge e_2\cdots \wedge e_n$ parecen realmente? Se dice que una base. ¿Por lo tanto, es un conjunto de vectores? ¿Cuál es su dimensión? ¿Es sólo una constante con dimensiones $1$?

Answer 1

$e_1 \wedge e_2 \wedge \dots \wedge e_n$ es un único vector. El $n$-ésima potencia exterior de una $n$-dimensiones del espacio, $\bigwedge^n V$, es unidimensional y $e_1 \wedge e_2 \wedge \dots \wedge e_n$ es el único vector que es necesario abarcar.

El exterior de los poderes de un espacio vectorial están estrechamente relacionados con los subespacios de que el espacio vectorial (esto se llama la Grassmann-Plücker incrustación de objetos). Esto es debido a que la cuña producto fácil de propiedad que $v_1,\dots,v_k$ son linealmente dependientes si y sólo si $v_1 \wedge \dots \wedge v_k = 0$. Por lo tanto el cero cuñas corresponden a linealmente independientes conjuntos de vectores.

Si $v_1 \wedge \dots \wedge v_k \ne 0$ $v_1,\dots,v_k$ son linealmente independientes, y la cuña $v_1 \wedge \dots \wedge v_k$ corresponde a la firmó base $v_1,\dots,v_k$ del subespacio $W = \operatorname{span}(v_1,\dots,v_k)$. Usted puede imagen de una firma de base como una orientada a paralelepípedo. Por ejemplo, con dos vectores, $v, w$, la cuña de producto $v \wedge w$ es el orientado a la paralelogramo con vértices $v, w, v + w$ y la orientación es de$v$$w$. Hay fotos de esto en la entrada de la Wikipedia.

Si $V$ $n$- dimensional, a continuación, $V$ sólo tiene un $n$-dimensional en el subespacio, es decir,$V$, que es la razón por la $\bigwedge^nV$ es unidimensional.

En $\mathbf R^n$ tenemos una noción de complemento ortogonal de un subespacio. Esto le da un natural de emparejamiento entre un $k$-dimensiones subespacio $W$ $\mathbf R^n$ e las $n - k$ dimensiones ortogonal del subespacio, $W^\perp$. En consecuencia, no debe ser un isomorfismo natural

$$ \bigwedge^k \mathbf R^n \longleftrightarrow \bigwedge^{n - k} \mathbf R^n. $$

La base de $\{e_{i_1} \wedge \dots \wedge e_{i_k} : 1 \le i_1 \le \dots \le i_k \le n\}$$\bigwedge^k \mathbf R^n$, este bijection es descrito por

$$ e_{i_1} \wedge \dots \wedge e_{i_k} \mapsto e_{j_1} \wedge \dots \wedge e_{j_{n-k}} $$

donde$1 \le j_1 \le \dots \le j_{n_k} \le n$$\{j_1,\dots,j_{n-k}\} = \{1,\dots,n\} \setminus \{i_1,\dots,i_k\}$. Es decir, el subespacio generado por un subconjunto $S$ $\{e_1,\dots,e_n\}$ es asignado al subespacio generado por el complemento, $S^c$. Como se puede ver, este isomorfismo tiene sentido para cualquier $n$-dimensional espacio vectorial, no sólo a aquellos con una noción de complemento ortogonal.

Como un ejemplo, para $\mathbf R^3$ tenemos un isomorfismo $\bigwedge^1 \mathbf R^3 = \mathbf R^3$ a $\bigwedge^2 \mathbf R^3$. Si $\hat\imath, \hat\jmath, \hat k$ son los vectores de la base para $\mathbf R^3$ entonces el isomorfismo es dada por

$$ \hat\imath \leftrightarrow \hat\jmath \wedge \hat k,\qquad \hat\jmath \leftrightarrow \hat\imath \wedge \hat k,\qquad \hat k \leftrightarrow \hat\imath \wedge \hat\jmath. $$

Esperemos que ver la relación aquí para el producto cruzado:

$$ \hat\imath = \hat\jmath \times \hat k,\qquad \hat\jmath = \hat\imath \times \hat k,\qquad \hat k = \hat\imath \times \hat\jmath. $$