¿Qué tan malo es el mago malo?

Question

Hay un mago (que definitivamente no soy yo), que baraja un mazo estándar de cartas (52 cartas, cuatro palos). Un voluntario del público elige una carta al azar, la vuelve a colocar en el paquete y vuelve a barajar.

El terrible mago, siendo tan terrible, comienza desde la parte superior del mazo.

"¿Es esta tu carta?"
"No."

La siguiente carta, y la pregunta se repite. Una y otra vez, hasta que finalmente, la carta del voluntario se revele. Mucho para la emoción de todos, que pueden irse a casa.

---

En este escenario, que no está basado en la vida real, ¿cuál es el valor esperado de intentos por el terrible mago antes de lograr deslumbrar a su audiencia?

Solo para hacer las cosas un poco más matemáticas, el voluntario elige una carta al azar, luego vuelve a barajar el mazo. Entonces, la pregunta se puede reformular como dado un número $n$ entre $1$ y $52$, y una permutación $\pi$ de $\{1,\dots,52\}$, ¿cuál es el valor esperado para $\pi^{-1}(n)$?

(Las preguntas vienen de jugar con un mazo de cartas, y pensar en el video de Michael Stevens de Vsauce sobre trucos con cartas, donde cita a Scott Czepiel sobre $52!$.)

Answer 1

Vamos a dejar que $X$ sea la variable aleatoria que denote el número de intentos realizados. Nota que $Pr(X=k)=\frac{1}{52}$ para cada $k\in\{1,2,3,\dots,52\}$. Continúa con el enfoque por la definición del valor esperado.

$E[X]=\sum\limits_{k=1}^{52}kPr(X=k) = \frac{1}{52}\sum\limits_{k=1}^{52}k=\frac{1}{52}\cdot\frac{52\cdot53}{2}=\frac{53}{2}$

Answer 2

Hay un total de 52 cartas, y la distribución de la carta de interés es invariante al revertir la baraja mezclada. Así que el valor esperado del número de cartas vistas (incluyendo la carta de interés) satisface $x=53-x$, dando $x=53/2.