Dividiendo polinomios en $\mathbb{F}_7[x]$

Question

Estoy tratando de dividir $4x^4+3x^3+2x^2+x+1$ $2x^2+x+1$ $\mathbb{F}_7[x]$.

Normalmente fuera de $\mathbb{F}_7[x]$ sé que la respuesta sería que $2x^2+(1/2)x-(1/4)$con un resto de % de $(3/4)x+(5/4)$. Pero porque esto es en $\mathbb{F}_7[x]$ y los coeficientes deben ser en $\mathbb{F}_7$, estoy confundido sobre cómo tratar con las fracciones. ¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

$\mathbb{F}_7$ es un campo para que todo lo que has escrito es válido. Observe que $2\cdot 4\equiv_7 1$, $2,4$ son inversos uno del otro. De esto obtienes: $$2x^2+4x-2$$ with a remainder of $6 x +3$.

Answer 2

$\frac{1}{2}=\frac{1×4}{2×4}=\frac{4}{8}=\frac{4}{1}$ 8 mod 7 es 1 aquí necesita hacer denominador 1, seleccionando el numero adecuado.
$\frac{-1}{4}=\frac{6×2}{8}=\frac{6×2}{1}=\frac{5}{1}$. Desde $-1=6 mod 7$. Asimismo puede tratar de otro mod de la fracción 7.