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La comprensión de la construcción de superficie de Riemann ξ3zξ2(a21)ξ+za2=0.

Estoy leyendo un artículo en el que se define una superficie de Riemann por la siguiente ecuación (a>1): ξ3zξ2(a21)ξ+za2=0 El objetivo es encontrar la superficie de Riemann de ξ(z).

Lo que quiero saber/entender:
Los puntos críticos de satisfacer zξ=0, que después de algún trabajo fuera de casa significa que los puntos de ramificación son z1,z2,z2,z1 (0<z2<z1) con z1,z2=12+a2±121+8a21+8a2±31+8a2±1. Además, las soluciones de la primera ecuación se tiene el siguiente comportamiento: ξ1(z)=z1z+O(1z3),ξ2(z)=a+12z+O(1z2),ξ3(z)=a+12z+O(1z2) como z.

Lo que no entiendo:
Al parecer, ξ1,ξ2 ξ3 puede ser analíticamente extendido a C([z1,z2][z2,z1]), C[z2,z1] y C[z1,z2] respectivamente. Sobre los cortes, se sostiene que ξ1+(x)=¯ξ1(x)=ξ2(x)=¯ξ2+(x),z2<x<z1 y ξ1+(x)=¯ξ1(x)=ξ3(x)=¯ξ3+(x),z1<x<z2 que determina la forma de la superficie de Riemann.

Entiendo que esto probablemente requiere algo tedioso, así que sólo la idea de cómo empezar va a ayudar mucho.

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Lukas Geyer Puntos 9607

Creo que la manera más fácil de entender esta superficie de Riemann es ver como la gráfica de la función z(ξ)=ξ3(a21)ξ2a2 puesto que una función y su inversa tiene la misma superficie de Riemann (que es esencialmente la gráfica de la relación con la definición de aquellos.) Con su suposición a>1, el numerador y el denominador no tienen factores comunes, por lo que esta es una función racional de grado 3. Ahora puede encontrar los puntos críticos cuyas imágenes son los puntos de ramificación de la inversa de la ξ(z), pero básicamente es eso.

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Maxim Puntos 146

Los puntos de ramificación son las raíces de la discriminante en la variable ξ, que es Δξ(P(z,ξ))=Δξ(ξ3zξ2+a2z2+1)=(a2z2+1)(4z327a2z+27a227), no se cuadrática irracionalidades.

Considerar el primer punto de ramificación z1=(a21)/a2: P(z1+z,ξ)=ξ3(z+z1)ξ2+a2z. P(z1,ξ) tiene una sola raíz ξ=z1 y una doble raíz de ξ=0. El Puiseux expansiones de ξ(z)z=z1ξ=z1+c1(zz1)+ξ=c1/2(zz1)1/2+.

Los mismos cálculos muestran que en cada uno de los otros tres puntos de ramificación, P(zi,ξ) también tiene una sola raíz y un doble de la raíz, y la estructura de las ramas es la misma, es decir, hay un par de hojas pegadas entre sí y una sola hoja, o, en términos de permutaciones, un ciclo de longitud dos.

En z=, el Puiseux expansiones ξ=z+c1z1+, con el líder plazo determinado por los términos de ξ3zξ2P, e ξ=±a+c±1z1+, con el líder plazo determinado por zξ2+a2z, e ξ(z) es no ramificados .

Un bucle alrededor de puede ser visto como una composición de giros alrededor de los cuatro puntos de ramificación zi. Si hay un ciclo que sólo aparece una vez, la composición no será igual a la identidad de permutación. También, el grupo de acción es transitiva porque P(z,ξ) es irreductible. Por lo tanto hay que tener dos ciclos de (12) y dos ciclos de (23), y la estructura se parece a esto:

Una opción posible para los cortes de ramas es el segmento que conecta los puntos de ramificación correspondientes al ciclo (12) junto con el segmento que conecta los puntos correspondientes a (23).

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