La comprensión de la construcción de superficie de Riemann $\xi^3-z\xi^2-(a^2-1)\xi+za^2=0$.

Question

Estoy leyendo un artículo en el que se define una superficie de Riemann por la siguiente ecuación ($a>1$): $$\xi^3-z\xi^2-(a^2-1)\xi+za^2=0$$ El objetivo es encontrar la superficie de Riemann de $\xi(z)$.

Lo que quiero saber/entender:
Los puntos críticos de satisfacer $\frac{\partial z}{\partial \xi}=0$, que después de algún trabajo fuera de casa significa que los puntos de ramificación son $-z_1,-z_2,z_2,z_1$ ($0<z_2<z_1$) con $$z_1,z_2=\sqrt{\frac{1}{2}+a^2\pm\frac{1}{2}\sqrt{1+8a^2}}\frac{\sqrt{1+8a^2} \pm 3}{\sqrt{1+8a^2}\pm 1}.$$ Además, las soluciones de la primera ecuación se tiene el siguiente comportamiento: $$\xi_1(z)=z-\frac{1}{z}+O\left(\frac{1}{z^3} \right),\xi_2(z)=a+\frac{1}{2z}+O\left(\frac{1}{z^2} \right),\xi_3(z)=-a+\frac{1}{2z}+O\left(\frac{1}{z^2} \right)$$ como $z\rightarrow \infty$.

Lo que no entiendo:
Al parecer, $\xi_1,\xi_2$ $\xi_3$ puede ser analíticamente extendido a $\mathbb{C}\backslash ([-z_1,-z_2]\cup [z_2,z_1])$, $\mathbb{C}\backslash [z_2,z_1]$ y $\mathbb{C}\backslash [-z_1,-z_2]$ respectivamente. Sobre los cortes, se sostiene que $$\xi_{1+}(x)=\overline{\xi_{1-}(x)}=\xi_{2-}(x)=\overline{\xi_{2+}(x)},\quad z_2<x<z_1$$ y $$\xi_{1+}(x)=\overline{\xi_{1-}(x)}=\xi_{3-}(x)=\overline{\xi_{3+}(x)},\quad -z_1<x<-z_2$$ que determina la forma de la superficie de Riemann.

Entiendo que esto probablemente requiere algo tedioso, así que sólo la idea de cómo empezar va a ayudar mucho.

Answer 1

Creo que la manera más fácil de entender esta superficie de Riemann es ver como la gráfica de la función $$z(\xi) = \frac{\xi^3 - (a^2-1)}{\xi^2 - a^2}$$ puesto que una función y su inversa tiene la misma superficie de Riemann (que es esencialmente la gráfica de la relación con la definición de aquellos.) Con su suposición $a>1$, el numerador y el denominador no tienen factores comunes, por lo que esta es una función racional de grado $3$. Ahora puede encontrar los puntos críticos cuyas imágenes son los puntos de ramificación de la inversa de la $\xi(z)$, pero básicamente es eso.

Answer 2

Los puntos de ramificación son las raíces de la discriminante en la variable $\xi$, que es $$\Delta_\xi(P(z, \xi)) = \Delta_\xi(\xi^3 - z \xi^2 + a^2 - z^2 + 1) =\\ (a^2 - z^2 + 1)(4z^3 - 27 a^2 z + 27a^2 - 27),$$ no se cuadrática irracionalidades.

Considerar el primer punto de ramificación $z_1 = (a^2 - 1)/a^2$: $$P(z_1 + z, \xi) = \xi^3 - (z + z_1)\xi^2 + a^2 z.$$ $P(z_1, \xi)$ tiene una sola raíz $\xi = z_1$ y una doble raíz de $\xi = 0$. El Puiseux expansiones de $\xi(z)$$z = z_1$$\xi = z_1 + c_1(z - z_1) + \dots$$\xi = c_{1/2}(z - z_1)^{1/2} + \dots\,$.

Los mismos cálculos muestran que en cada uno de los otros tres puntos de ramificación, $P(z_i, \xi)$ también tiene una sola raíz y un doble de la raíz, y la estructura de las ramas es la misma, es decir, hay un par de hojas pegadas entre sí y una sola hoja, o, en términos de permutaciones, un ciclo de longitud dos.

En $z = \infty$, el Puiseux expansiones $\xi = z + c_{-1}z^{-1} + \dots$, con el líder plazo determinado por los términos de $\xi^3 - z \xi^2$$P$, e $\xi = \pm a + c_{-1}^{\pm}z^{-1} + \dots$, con el líder plazo determinado por $-z \xi^2 + a^2 z$, e $\xi(z)$ es no ramificados $\infty$.

Un bucle alrededor de $\infty$ puede ser visto como una composición de giros alrededor de los cuatro puntos de ramificación $z_i$. Si hay un ciclo que sólo aparece una vez, la composición no será igual a la identidad de permutación. También, el grupo de acción es transitiva porque $P(z, \xi)$ es irreductible. Por lo tanto hay que tener dos ciclos de $(12)$ y dos ciclos de $(23)$, y la estructura se parece a esto:

Una opción posible para los cortes de ramas es el segmento que conecta los puntos de ramificación correspondientes al ciclo $(12)$ junto con el segmento que conecta los puntos correspondientes a $(23)$.