Estoy leyendo un artículo en el que se define una superficie de Riemann por la siguiente ecuación (a>1): ξ3−zξ2−(a2−1)ξ+za2=0 El objetivo es encontrar la superficie de Riemann de ξ(z).
Lo que quiero saber/entender:
Los puntos críticos de satisfacer ∂z∂ξ=0, que después de algún trabajo fuera de casa significa que los puntos de ramificación son −z1,−z2,z2,z1 (0<z2<z1) con
z1,z2=√12+a2±12√1+8a2√1+8a2±3√1+8a2±1.
Además, las soluciones de la primera ecuación se tiene el siguiente comportamiento:
ξ1(z)=z−1z+O(1z3),ξ2(z)=a+12z+O(1z2),ξ3(z)=−a+12z+O(1z2)
como z→∞.
Lo que no entiendo:
Al parecer, ξ1,ξ2 ξ3 puede ser analíticamente extendido a C∖([−z1,−z2]∪[z2,z1]), C∖[z2,z1] y C∖[−z1,−z2] respectivamente. Sobre los cortes, se sostiene que
ξ1+(x)=¯ξ1−(x)=ξ2−(x)=¯ξ2+(x),z2<x<z1
y
ξ1+(x)=¯ξ1−(x)=ξ3−(x)=¯ξ3+(x),−z1<x<−z2
que determina la forma de la superficie de Riemann.
Entiendo que esto probablemente requiere algo tedioso, así que sólo la idea de cómo empezar va a ayudar mucho.