¿Hay una manera de probar que $\mathbb{Z}[i]$ y $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ son UFD sin mostrar que son dominios euclidianas?

Question

¿Cuáles son los métodos directos para probar que un anillo es una UFD en general sin demostrar que es un PID/Eudclidian/en el campo dominio y usando el hecho de que todas esas cosas son UFD?

Como ejemplo podemos tomar $\mathbb{Z}[i]$ o $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$ u otros anillos usted viene para arriba con.

Answer 1

Aquí están algunas ideas:

• Exsitence es fácil demostrar el uso de la inducción de la norma.

• La singularidad es la parte difícil, sobre todo desde que se produce la mayoría de los anillos de la forma $\mathbb Z[\sqrt d]$. Para los anillos que has mencionado, puede ser demostrado por el conocimiento de las unidades y de la manera exacta de los números primos en $\mathbb Z$ descomponer en $\mathbb Z[\sqrt d]$. Hay tres posibilidades para un primer $p$: permanece prime, es producto de dos no asociar los números primos, que es un cuadrado. Para los anillos que has mencionado, esto puede ser decidido en ad hoc maneras.

En el caso general de el anillo de los números enteros en cuadrática campos de $\mathbb{Q}(\sqrt{n})$, la respuesta no es sencilla, pero es fascinante, Ver el libro de los números Primos de la Forma $x^2+ny^2$, por David Cox.

Answer 2

Esto sería extremadamente derrochadora y nadie lo haría antes de demostrar que eran dominios euclidianos o PIDs, pero usted podría demostrar que tienen número 1 de la clase a través de algunos medios indirectos. $\mathbb Z[i]$ es un dominio de Dedekind es un UFD si y solamente si su número de clase es 1.