¿Es continuidad uniforme relacionado con la tasa de cambio de la función?

Question

He estado tratando de entender cómo uniforme de funciones continuas difieren de las funciones que son continuas pero no uniformemente continua. Basado en algunos de los ejemplos y contra-ejemplos, mi sensación es que el uniforme de funciones continuas no se puede cambiar "rápidamente". Esperemos que los siguientes ejemplos en claro a lo que me refiero:

1. $f(x) = 1/x$ es no uniformemente continua en a $(0,1)$ porque "golpes" en la $0$, es decir, su pendiente se vuelve infinito muy rápidamente. Similares funciones serían $\log x$$(0,1)$$\tan x$$(0,\pi/2)$.
2. $f(x) = x^2$ es no uniformemente continua en a $(0,\infty)$ porque va hasta el infinito "rápidamente" en el sentido de que la función de la tasa de cambio es mayor que la de las funciones lineales, para lo suficientemente grande $x$.
3. $f(x) = x^{1/3}$ es uniformemente continua en a $(-1,1)$, porque a pesar de que la pendiente se hace infinito en $0$, no sucede "rápidamente" como en los dos ejemplos anteriores.
4. $f(x) = \sin (1/x)$ es no uniformemente continua en a $(0,1)$ porque oscila "rápidamente" como $x$ enfoques $0$.
5. $f(x) = x\sin(1/x)$ es uniformemente continua en a $(-1,1)$ debido a que, aunque la frecuencia de oscilación sigue siendo el mismo, la amplitud es "suficientemente pequeño" para que la función uniformemente continua; en cierto sentido, la función no está cambiando rápidamente, lo suficiente para que no sea uniformemente continua.

Esta es sin duda una muy ingenua manera de mirar uniforme de continuidad, pero ¿tiene algún mérito? Hay una forma de describir el uniforme de continuidad desde el rigor en la formulación de la noción de tasa de cambio de la función?

Algunas dificultades ya veo son:

1. Existen funciones continuas que no son diferenciables, por lo que el natural de la idea de la tasa de cambio no es aplicable a ellas.
2. Incluso existen continua pero no diferenciable de las funciones de $\mathbb{R}$, y sabemos que cualquier función continua en un subconjunto compacto de $\mathbb{R}$ es uniformemente continua. Así, la función de Weierstrass restringido a $[0,1]$ es uniformemente continua. Sin duda, los cambios en la función "rápidamente" por todo el lugar, pero de alguna manera no hacerlo "suficientemente rápido"?

Me han etiquetado esto como una suave pregunta porque sé que hay mucha ambigüedad en este post. Sería muy útil si alguien me puede dar ideas acerca de por qué este método de pensamiento de uniforme de funciones continuas (al menos en el real de la variable de caso) puede o no puede ser fecunda.

También, este es un post que he encontrado útil, especialmente de los más upvoted respuesta: ¿por Qué los matemáticos introducir el concepto de continuidad uniforme?

Answer 1

Lo hace, en el sentido siguiente: para una función $f$ a dejar de ser uniformemente continua, tiene que haber un par de puntos infinitamente cercanas tales que la diferencia en los valores de $f$ en esos puntos es apreciable (por lo tanto no infinitesimal). Es una enorme tasa de cambio y usted ni siquiera necesita exigir que la función sea diferenciable para que funcione.

Answer 2

Las tasas de cambio sin la diferenciabilidad es de hecho un problema. Lo que se puede medir, en un sentido, es el promedio de las tasas de cambio. Todavía se puede definir la tasa promedio de cambio de $f$ $[a, b]$ $$\frac{f(b) - f(a)}{b - a}.$$ Tenga en cuenta que no hay la diferenciabilidad se requiere aquí.

Al $f$ es Lipschitz continua de la función (más fuerte que el uniforme de la continuidad), esto es siempre limitada, independientemente de la opción de $a$ $b$ (de hecho, esta es la definición de ser de Lipschitz continua).

Al $f$ es uniformemente continua, la situación es un poco más sutil. No es útil considerar el único valor numérico $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$, pero en lugar de ver el mayor número posible de subsidio para $f(b) - f(a)$ como una función de la longitud del intervalo, $b - a$. Con un Lipschitz continua en función de reducir a la mitad el mayor valor permisible de $f(b) - f(a)$ corresponde a reducir a la mitad la longitud de $b - a$, pero este no es el caso general, es uniformemente continua. En su lugar, tenemos que $f(b) - f(a)$ tiende a $0$, en algunos (posiblemente no lineal) de la tasa como $b - a$ tiende a $0$, independientemente de los valores que $a$ $b$ tomar realmente.

Veamos un ejemplo: $f(x) = \sqrt{x}$. Tenga en cuenta que $f$ no es Lipschitz continua, como $$\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{\sqrt{b} - \sqrt{a}}{b - a} = \frac{1}{\sqrt{b} + \sqrt{a}},$$ y teniendo en $b$ $a$ arbitrariamente pequeño hace que este valor tienden a $\infty$. Sin embargo, si fijamos $\varepsilon > 0$, se puede forzar a $|f(b) - f(a)| < \varepsilon$ hacer $b - a$ pequeños, independientemente de los valores de $a$$b$. Es decir, $f$ es uniformemente continua. Para ver esto, en primer lugar supongamos $b - a < \varepsilon^2$. Entonces $$b < \varepsilon^2 + a \le \varepsilon^2 + 2\sqrt{a}\varepsilon + a = (\varepsilon + \sqrt{a})^2,$$ por lo tanto $\sqrt{b} - \sqrt{a} < \varepsilon$. Por tanto, no es una función lineal de la $\varepsilon$, pero forzando $b - a < \varepsilon^2$, nos están obligando a $f(b) - f(a)$ menor que $\varepsilon$.

Tomando más y más pequeños intervalos, podemos tener la $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ a ser más grandes y más grandes, pero cuando nos fix $b - a$ a por lo menos algunos longitud mínima, podemos hacer $f(b) - f(a)$ pequeños.