Encontrar el mínimo de$λ$ tal que$|a-b|^p\le λ(2-|a-b|)\left|\frac{a|a|^{p-1}}{1-|a|}-\frac{b|b|^{p-1}}{1-|b|}\right|$ para$a,b\in(-1,1)$

Question

Deje $p\ge 2$ ser un número real. Encontrar el mínimo de $λ$ tal que para cualquier $a,b\in(-1,1)$, $$|a-b|^p\le λ(2-|a-b|)\left|\dfrac{a|a|^{p-1}}{1-|a|}-\dfrac{b|b|^{p-1}}{1-|b|}\right|.\tag{1}$$

He estado pensando acerca de esta desigualdad por un largo tiempo, y no he visto la respuesta. Tal vez Dunkl-Williams desigualdad está involucrado?$$ \|x-y\| \ge \frac 12 (\|x\|+\|s\|)\left\|\dfrac x{\|x\|}- \dfrac y {\|s\|} \right\|. \quad \forall 0\ne x, y \in X$$ Incluso con esto:

La prueba de algunas de las observaciones formuladas en el triángulo de la desigualdad de las normas, L. Maligranda, de Banach J. Math. Anal. 2 (2008), no. 2, 31 a 41. https://arxiv.org/pdf/1109.1773.pdf

Pero (1) tiene una potencia de $p$.

Answer 1

En primer lugar, tome $(a, b) = \left( \dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{2} \right)$,$λ \geqslant 2^{p - 2}$. Ahora se demostró que para $λ = 2^{p - 2}$, la desigualdad se mantiene. Tenga en cuenta que $f(x) = \dfrac{x^p}{1 - x}$ es el aumento en $[0, 1)$. Si $ab \geqslant 0$, sin pérdida de generalidad, supongamos $a \geqslant b \geqslant 0$,$$ (1) \Longleftrightarrow \frac{(a - b)^p}{2 - (a - b)} \leqslant 2^{p - 2} \left( \frac{a^p}{1} - \frac{b^p}{1 - b} \right). $$ Si $ab < 0$, sin pérdida de generalidad, supongamos $a > 0 > b$,$$ (1) \Longleftrightarrow \frac{(a + (-b))^p}{2 - (a + (-b))} \leqslant 2^{p - 2} \left( \frac{a^p}{1} + \frac {(a-b)^p}{1 - (-b)} \right). $$ Por lo tanto, basta probar que para cualquier $0 \leqslant b \leqslant a < 1$,$$ \frac{(a - b)^p}{2 - (a - b)} \leqslant 2^{p - 2} \left( \frac{a^p}{1} - \frac{b^p}{1 - b} \right)\\ \frac{(a + b)^p}{2 - (a + b)} \leqslant 2^{p - 2} \left( \frac{a^p}{1} + \frac{b^p}{1 - b} \right). $$

Tenga en cuenta que$$ f"(x) = (p - 1)p · \frac{x^{p - 2}}{1 - x} + 2p · \frac{x^{p - 1}}{(1 - x)^2} + 2 · \frac{x^p}{(1 - x)^3}, \quad \forall 0 < x < 1 $$ por lo tanto $f$ es convexa en a $[0, 1)$. Por la desigualdad de Jensen,$$ \frac{1}{2} \left( \frac{a^p}{1} + \frac{b^p}{1 - b} \right) \geqslant \frac{\left( \dfrac{a + b}{2} \right)^p}{1 - \dfrac{a + b}{2}}, $$ es decir,$$ \frac{(a + b)^p}{2 - (a + b)} \leqslant 2^{p - 2} \left( \frac{a^p}{1} + \frac{b^p}{1 - b} \right). $$ Ahora para cualquier fija $0 \leqslant c < 1$, definir$$ g_c(x) = f(x + c) - f(x) = \frac{(x + c)^p}{1 - (x + c)} - \frac{x^p}{1 - x}. \quad 0 \leqslant x < 1 - c $$ Debido a $f''(x) \geqslant 0$ implica $f'$ es el aumento en $[0, 1)$,$g_c'(x) = f'(x + c) - f'(x) \geqslant 0$, e $g_c'$ es el aumento en $[0, 1 - c)$. Por lo tanto$$ \frac{a^p}{1} - \frac{b^p}{1 - b} = g_{a - b}(b) \geqslant g_{a - b}(0) = \frac{(a - b)^p}{1 - (a - b)}. $$ Ya que$$ 2^{p - 2} \frac{(a - b)^p}{1 - (a - b)} \geqslant \frac{(a - b)^p}{2 - (a - b)} \Longleftrightarrow \frac{1 - (a - b)}{2 - (a - b)} \leqslant 2^{p - 2}, $$ y $0 \leqslant a - b < 1$ implica $\dfrac{1 - (a - b)}{2 - (a - b)} \leqslant \dfrac{1}{2} < 2^{p - 2}$,$$ \frac{(a - b)^p}{2 - (a - b)} \leqslant 2^{p - 2} \left( \frac{a^p}{1} - \frac{b^p}{1 - b} \right). $$ Por lo tanto,$$ |a - b|^p \leqslant 2^{p - 2} (2 - |a - b|) \left| \frac{a |a|^{p - 1}}{1 - |a|} - \frac{b |b|^{p - 1}}{1 - |b|} \right|. \quad \forall a, b \in (-1, 1) $$