El operador lineal $T_A(B)=AB-BA$ definido en $\mathbb M_n(\mathbb C)$ tiene un determinante nulo

Question

Dejemos que $T_A:\mathbb{M_n(C)}\rightarrow\mathbb{M_n(C)}$ sea un operador lineal tal que $T(B)=AB-BA$ , fueron $\mathbb{M_n(C)}$ denotan el espacio de la matriz con orden $n$ y entradas complejas. A continuación, $T_A$ tiene un determinante nulo.

Prueba: Es suficiente para demostrar que $T_A$ no tiene inversa, es decir, $T_A$ no es uno a uno. Pero esto es inmediato porque $T_A(I)=0$ Así que.., $\ker(T_A)\neq\{0\}$ . Tengo dudas sobre mi prueba. ¿Es correcto?

Answer 1

Su prueba está bien. Sin embargo, "suficiente" es la ortografía correcta.