¿Se puede entender la ley de la gravitación de Newton utilizando el principio holográfico (o tal razonamiento sólo equivale a un análisis dimensional)?
Siguiendo un argumento similar al dado por Erik Verlinde Considere una masa $M$ dentro de un volumen espacial esférico de radio $R$ .
El principio holográfico dice que la masa $M$ debe describirse completamente en la superficie de la esfera en términos de la energía en entidades elementales o cuerdas.
Por el teorema de equiparación, la energía total, $E=Mc^2$ en la superficie viene dada por el número de cuerdas, $N$ por el número de grados de libertad por cadena, por $1/2\ k_BT$ por grado de libertad:
$$E = N \times d_f \times \frac{1}{2} k_B T.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$$
El número de cadenas en la superficie viene dado por el Fórmula Bekenstein-Hawking :
$$N = \frac{A}{4},$$
donde $A$ es la superficie de la esfera en unidades del área de Planck $G\hbar/c^3$ . En cuanto al radio $R$ el número $N$ está dada por:
$$N = \frac{\pi c^3 R^2}{G \hbar}.$$
Sustituyendo en la ecuación (1) obtenemos una expresión para la temperatura $T$ :
$$M c^2 = \frac{\pi c^3 R^2}{G \hbar} \times d_f \times \frac{1}{2}k_BT$$
$$T = \frac{4}{d_f}\frac{\hbar}{2\pi ck_B}\frac{GM}{R^2}.$$
Si hay $d_f=4$ grados de libertad por cuerda entonces la fórmula anterior da la temperatura de Unruh para un objeto que cae a través de la superficie con aceleración $g$ :
$$g = \frac{GM}{R^2}.$$
Se trata, por supuesto, de la aceleración dada por la ley de la gravedad de Newton debido a la presencia de una masa $M$ .
P.D. Podría $d_f=4$ vienen de las 4 dimensiones del espacio-tiempo?
