Que $A \subset \mathbb{R}$ sea un Lebesgue medible con medida de Lebesgue positiva.

Question

<blockquote> <p>Que $A \subset \mathbb{R}$ sea un Lebesgue medible con medida de Lebesgue positiva. Mostrar que existe para cualquier $k\in\mathbb{N}$, $a,t \in\mathbb{R}$ ($t\ne0$) tal que $$\begin{align*} a,a+t,a+2t,\cdots,a+kt\in A\end{align*}$$ </p> </blockquote> <p>Yo sabía que existe $\delta>0$s.t $(-\delta,\delta)\subset A-A$ por $\mu(A)>0$.</p> <p>El problema parece ser similar con eso. Sin embargo, me cuesta pensar cómo demostrar que...</p> <p>Cualquier ayuda se agradece...</p> <p>¡Gracias!</p>

Answer 1

Elija un intervalo de $I$ tal que %#% $de #% en otras palabras,$$\mu(A\cap I)\gt\frac k{k+1}\mu(I),$$elija$$\mu(I\setminus A)\lt\frac{\mu(I)}{k+1}.$ así que % t\gt0$,$$\mu(I\setminus A)+kt\lt\frac{\mu(I)}{k+1}.$ tenemos $0\le j\le k,$ $y así$$\mu(I\setminus(A-jt))\le\mu(I\setminus A)+jt\le\mu(I\setminus A)+kt\lt\frac{\mu(I)}{k+1},$ $donde$$\mu\left(\bigcup{j=0}^k(I\setminus(A-jt)\right)\le\sum{j=0}^k\mu(I\setminus(A-jt))\lt\mu(I), elija $$I\cap\bigcap{j=0}^k(A-jt)\ne\emptyset. $$a\in\bigcap{j=0}^k(A-jt);a+jt\in A$

P.S. Me ha pedido para explicar la desigualdad $j=0,1,\dots,k.$ $
Lema. Si $$\mu(I\cap(A-jt)^c)\leq\mu(I\cap A^c)+jt.\tag1$es un intervalo y$I$un número real,$s
Prueba. Desde $$\mu(I\cap(X+s))\le\mu(I\cap X)+|s|.$ $ tenemos$$ I\cap(X+s)\subseteq((I\cap X)+s)\cup(I\setminus(I+s)),
Ahora que $$\mu(I\cap(X+s))\le\mu((I\cap X)+s)+\mu(I\setminus(I+s))\le\mu(I\cap X)+|s|.$y$X=A^c$así que$s=-jt,$por el lema que tenemos$X+s=A^c-jt=(A-jt)^c.