Que $A \subset \mathbb{R}$ sea un Lebesgue medible con medida de Lebesgue positiva.

Question

<blockquote> <p>Que $A \subset \mathbb{R}$ sea un Lebesgue medible con medida de Lebesgue positiva. Mostrar que existe para cualquier $k\in\mathbb{N}$, $a,t \in\mathbb{R}$ ($t\ne0$) tal que\begin{align*} a,a+t,a+2t,\cdots,a+kt\in A\end{align*}</p> </blockquote> <p>Yo sabía que existe $\delta>0$s.t $(-\delta,\delta)\subset A-A$ por $\mu(A)>0$.</p> <p>El problema parece ser similar con eso. Sin embargo, me cuesta pensar cómo demostrar que...</p> <p>Cualquier ayuda se agradece...</p> <p>¡Gracias!</p>

Answer 1

Elija un intervalo de $I$ tal que %#% $ de #% en otras palabras, $$\mu(A\cap I)\gt\frac k{k+1}\mu(I),$$ elija $$\mu(I\setminus A)\lt\frac{\mu(I)}{k+1}.$ así que % $ $t\gt0$, $$\mu(I\setminus A)+kt\lt\frac{\mu(I)}{k+1}.$ tenemos $0\le j\le k,$ $ y así $$\mu(I\setminus(A-jt))\le\mu(I\setminus A)+jt\le\mu(I\setminus A)+kt\lt\frac{\mu(I)}{k+1},$ $ donde $$\mu\left(\bigcup{j=0}^k(I\setminus(A-jt)\right)\le\sum{j=0}^k\mu(I\setminus(A-jt))\lt\mu(I),$ $ elija $$I\cap\bigcap{j=0}^k(A-jt)\ne\emptyset.$ $ $$a\in\bigcap{j=0}^k(A-jt);$ $a+jt\in A$

P.S. Me ha pedido para explicar la desigualdad $j=0,1,\dots,k.$ $
Lema. Si $$\mu(I\cap(A-jt)^c)\leq\mu(I\cap A^c)+jt.\tag1$ es un intervalo y $I$ un número real, $s$ $
Prueba. Desde $$\mu(I\cap(X+s))\le\mu(I\cap X)+|s|.$ $ tenemos $$I\cap(X+s)\subseteq((I\cap X)+s)\cup(I\setminus(I+s)),$ $
Ahora que $$\mu(I\cap(X+s))\le\mu((I\cap X)+s)+\mu(I\setminus(I+s))\le\mu(I\cap X)+|s|.$ y $X=A^c$ así que $s=-jt,$ por el lema que tenemos $X+s=A^c-jt=(A-jt)^c.$ $