Considere la posibilidad de la conexión de un conjunto abierto $U\subset \Bbb R^n$ (o un colector de Riemann si eres ambicioso), y $S\subset U$ cerrado y con una dimensión de Hausdorff $\le n-2$. Es $U\setminus S$ conectado? Si no $\dim S\le n-3$ trabajo? ¿Cuál es la óptima dimensión?
Parece sorprendentemente difícil, incluso en el caso de $U=\Bbb R^2$. No existen innumerables cero-dimensional subconjuntos de a $\Bbb R^2$, por lo que no podemos utilizar esta clásica resultado. Yo creo que si uno se demuestra en el $n=2$ caso de que uno puede hacer de inducción a mayor $n$ a través de algún tipo de corte de argumento (tal vez el uso de Fubini).
De manera más general, considere la posibilidad de $R\subset \Bbb R^n$ conectado y $\dim R=k$. Puede $S\subset R$, $\dim S=k-2$ (o quizás $k-3$) desconecte $R$?
