Explicación

Question

¿Cómo explicarías a un estudiante que $$ \int{-1}^1\frac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan(1) - \arctan(-1) = \frac{\pi}{2} $ $ y no $$ \int{-1}^1\frac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan(1) - \arctan(-1) \neq \frac{\pi}{4} - \frac{3\pi}{4} = -\frac{\pi}{2}$ $ además del obvio hecho de que $\arctan x$ no se puede asignar a dos valores distintos?

Answer 1

Bueno, también puede utilizar la función incluso 'tarjeta'
es decir, desde $f(x) = f(-x)$, $$ \int{-1}^{1}\frac{1}{1+x^2}=2\int{0}^{1}\frac{1}{1+x^2}=2(\arctan 1 +\arctan 0) = 2 \, \left(\frac{\pi}{4} \right) =\frac{\pi}{2} $ $

Answer 2

Realmente estamos utilizando la sustitución $x=\tan\theta$.

$$ \int{-1}^1\frac{1}{1+x^2}dx=\int{\frac{-\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \left(\frac{1}{1+\tan^2\theta}\right)(\sec^2\theta)d\theta=\int_{\frac{-\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} d\theta=\frac{\pi}{2}$$

Tomamos el $\displaystyle \theta\in\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$ $\tan\theta$ es diferenciable en el intervalo.

Si queremos tomar $\displaystyle \theta=\frac{3\pi}{4}$, el intervalo no puede ser $\displaystyle \left(\frac{\pi}{4},\frac{3\pi}{4}\right)$ $\displaystyle \tan\frac{\pi}{2}$ no existen.

Tenemos que romper el intervalo como $\displaystyle \left(\frac{3\pi}{4},2\pi\right)$ y $\displaystyle \left(0,\frac{\pi}{4}\right)$ para evitar el problema.

\begin{align} \int{-1}^1\frac{1}{1+x^2}dx&=\int{-1}^0\frac{1}{1+x^2}dx+\int0^1\frac{1}{1+x^2}dx\ &=\int{\frac{3\pi}{4}}^{2\pi}d\theta+\int_0^{\frac{\pi}{4}}d\theta\ &=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\ &=\frac{\pi}{2} \end{align}

Answer 3

Cuando escribimos $\arctan$ normalmente nos referimos a la inversa de $\tan\colon (-\pi/2,\pi/2)\to \mathbb R$.

Este es, por supuesto, una elección arbitraria. A la hora de explicar a los estudiantes, yo la compararía con la inversión de $x\mapsto x^2$. No inyectividad (y continuidad) nos obliga a considerar dos mapas diferentes, uno definido en la no-negativo y el otro en la no-positivo reales con sus inversas, que se denota por a$\sqrt x$$-\sqrt x$.

De forma análoga, se puede definir $\tan_k\colon (-\pi/2 + k\pi,\pi/2 +k\pi)\to \mathbb R$ y sus correspondientes inversos $\arctan_k\colon\mathbb R\to (-\pi/2 + k\pi,\pi/2 +k\pi)$. Para cada uno de ellos, es fácil mostrar que $\arctan_k'x=\frac 1{1+x^2}$, ya que difieren por una constante. Por lo tanto, todos los $\arctan_k$ son funciones primitivas de $\frac 1{1+x^2}$. Tenga en cuenta que usted no puede mezclar diferentes ramas para hacer otra primitiva de la función debido a la primitiva de la función debe ser diferenciable, y la mezcla haría ni siquiera continua.

Ahora, el teorema fundamental del cálculo nos dice que $\int_a^b f(x)\,dx = F(b)-F(a)$ para algunos primitiva de la función $F$. No siquiera insinuar que podría calcular la integral anterior como $F(b)-G(a)$ para distintas funciones primitivas de $f$.

Por último, la escritura de $$ \int_{-1}^1\frac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan(1) - \arctan(-1) = \frac{\pi}{4} - \frac{3\pi}{4} = -\frac{\pi}{2}$$ sería un error de la clase descrita en el párrafo anterior.