Un término para un "producto" de dos variedades

Question

Dejemos que $X\subset \mathbb{P}^m$ y $Y\subset \mathbb{P}^n$ sean dos variedades proyectivas definidas por las ecuaciones $f_1=\ldots=f_s=0$ y $g_1=\ldots=g_t=0$ respectivamente.

A partir de esto podemos definir un subconjunto algebraico $Z$ de $\mathbb{P}^{n+m+1}$ definido por $f_1=\ldots=f_s=g_1=\ldots=g_t=0$ .

Me parece que $Z$ debe ser algo así como el cierre proyectivo del producto cartesiano de los conos afines sobre $X$ y $Y$ Pero me gustaría saber si hay algo más que se pueda decir al respecto:

• ¿Existe un nombre para este tipo de operaciones?

• ¿Cómo es $Z$ relacionado con $X$ y $Y$ ?

Answer 1

Su $Z$ es la unión $Z=X\star Y$ de $X$ y $Y$ . Aquí hay una descripción y algunos cálculos.

Dejemos que $N=m+n+1$ . Considere en $ \mathbb{P}^N$ con coordenadas homogéneas $x_0,\ldots,x_N$ los subespacios lineales disjuntos $A=V(x_{m+1},\ldots,x_N)\simeq\mathbb P^m$ y $B=V(x_{0},\ldots,x_m)\simeq\mathbb P^n$ .
Dado $a=[a_0:\ldots:a_m:0:\dots:0]\in A$ y $b=[0:\ldots:0:b_{m+1}:\ldots:b_N]\in B$ la línea $<a,b>$ que los une está dada paramétricamente por $[sa_0:\ldots:sa_m:tb_{m+1}:\ldots:tb_N]$ donde $[s:t]\in \mathbb P^1$ .
La unión de estas líneas es $\mathbb{P}^N$ :

Más concretamente, dado un punto $c=[c_0:\ldots:c_N] \in \mathbb P^N\setminus(A\cup B)$ hay una línea única que atraviesa $c$ golpeando ambos $A$ y $B$ : es la línea $<a,b>$ con $a=[c_0:\ldots:c_m:0:\ldots:0]\in A$ y $b=[0:\ldots:0:c_{m+1}:\cdots:c_N]\in B$ .
(Esta línea $<a,b>$ viene dada paramétricamente por
$[sc_0:\ldots:sc_m:tc_{m+1}:\ldots:tc_N]$ y $c$ corresponde a $s=t=1$ )

Por último, supongamos que se toman sólo las líneas $<x,y>$ con $x\in X$ y $y\in Y$ : su unión es su variedad $Z=X\star Y\subset \mathbb P^N$ cuyas ecuaciones son, tal y como querías, $$f_1(x_{0},\ldots,x_m)=\cdots=f_s(x_{0},\ldots,x_m)=g_1(x_{m+1},\ldots,x_N)=\ldots= g_t(x_{m+1},\ldots,x_N)=0$$ Editar
Olvidé mencionar que $\text {dim}_: (X\star Y)=\text {dim}_: (X)+\text {dim}_: ( Y)+1$

Segunda edición
He aquí la versión afín de lo anterior, inspirada en una conversación con mi amigo André Hirschowitz.
Consideremos en los espacios vectoriales $E,F$ dos conos algebraicos afines $C\subset E, D\subset F$ definidos respectivamente por las ecuaciones $f_i=0$ y $g_j=0$ obtenido a partir de dos racimos de polinomios homogéneos $(f_i)$ y $(g_j)$ .
Estos conos tienen una unión afín $C\star D\subset E\oplus F$ definidos simplemente como su suma vectorial $C\star D=C+D=\{d+e|d\in D, e\in E\}$ .
Para derivar las ecuaciones de esa unión, hay que tener en cuenta que nuestros conos algebraicos $D,E$ dan lugar a cilindros algebraicos $C\oplus F, E\oplus D\subset E\oplus F$ que tienen exactamente las mismas ecuaciones $f_i=0$ y $g_j=0$ como $D$ y $E$ .
La observación clave es entonces que $$C\star D=C+D=(C+F)\cap(E+D)$$ para que, como todas las intersecciones, la unión $C\star D$ se describe tomando conjuntamente las ecuaciones $f_i=0$ y $g_j=0$ de los intersectandos $(C+F), (E+D)$ , a saber $$C\star D=V(\ldots,f_i,\ldots; \ldots,g_j,\ldots)$$ .
No hace falta decir que el caso proyectivo que he descrito antes sigue poniendo $$\mathbb P^N=\mathbb P(E\oplus F), \: A=\mathbb P(E),\:B=\mathbb P(F),\: X=\mathbb P(C), \:Y=\mathbb P(D)$$ y por lo tanto $$Z=X\star Y=\mathbb P(C)\star \mathbb P(D)=\mathbb P(C\star D)$$

Answer 2

Su sistema de ecuaciones $f_1=\ldots=f_s=g_1=\ldots=g_t=0$ no tiene sentido, por lo que $Z$ no está definido, porque el $f_i$ dependen de $m+1$ variables, el $g_j$ 's en $n+1$ variables y en realidad subvariedades de $\mathbb{P}^{n+m+1}$ deben ser definidos por polinomios en $n+m+2$ ¡variables!

Sin embargo, se puede definir el producto $X\times Y$ y será una variedad proyectiva, pero esa variedad está incrustada en un espacio proyectivo ENORME: $X\times Y\subset \mathbb P^{mn+m+n}$ .
Este procedimiento se debe a Segre y se puede leer sobre él aquí .

Editar
En realidad la pregunta tiene un excelente sentido interpretando los polinomios en el $m+1$ variables $x_0...,x_m$ como polinomios en las variables $x_0,...,x_{m+n+2}$ sin depender de $x_{m+1},...,x_{m+n+2}$ ¡!
Siento este malentendido y responderé a la pregunta real en otro post, ya que la nueva respuesta va a ser un poco técnica.