Tratando de demostrar que $C([0,1])$ es un espacio métrico completo, utilizando la norma $\|f|| = \max_{x\in [0,1]} |f(x)|$ .

Question

Creo que tengo este problema casi hecho. Estoy tomando $C([0,1])$ para ser el conjunto de todas las funciones continuas $f\colon[0,1] \to \mathbb{R}$ . Ya he demostrado que $\displaystyle\|f\| = \max_{x\in [0,1]} |f(x)|$ es efectivamente una norma en $C([0,1])$ y lo convierte en un espacio normado.

Mi siguiente paso fue demostrar que si $f_n$ es una secuencia de Cauchy en $C([0,1])$ entonces para todos $x \in [0,1]$ $f_n (x)$ es una secuencia de Cauchy en $\mathbb{R}$ . No fue tan difícil.

Ahora estoy atascado tratando de mostrar la convergencia puntual de cada secuencia, es decir $f(x) = \lim_{n \to \infty} f_n (x)$ demostrando que $\displaystyle\sup_{x \in [0,1]} |f(x) - f_n (x)| \to 0 ,(n \to \infty)$ .

No creo que sea muy difícil demostrar que $f \in C([0,1])$ después de eso y entonces habría mostrado que $C([0,1])$ es un espacio métrico completo. Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Supongamos que $f_n$ es una secuencia de Cauchy en $C([0,1])$ . Dijiste que habías demostrado que $f_n(x)$ es una secuencia de Cauchy de números reales . La norma estándar es completa en $\mathbb R$ Así pues, para cualquier $x \in [0,1]$ sabemos $f_n(x)$ converge a algún número real $\alpha_x$ .

Ahora, define una función $f$ en $[0,1]$ por $f(x)=\alpha_x$ . Tenemos que demostrar que $f \in C([0,1])$ y que $\|f_n-f\| \to 0$ como $n \to \infty$ . Con esto concluye la prueba de integridad.

Dejemos que $\varepsilon >0$ . Tenemos, si $n, m$ son lo suficientemente grandes, $$ |f(x) - f_n (x)|=\lim_{m \to \infty} |f_m(x)-f_n(x)| < \varepsilon $$ y luego $\|f_n-f\|=\sup_{x \in [0,1]}|f(x) - f_n (x)| < \epsilon$ . Desde $\varepsilon>0$ era arbitraria, $\|f_n-f\| \to 0$ .

Finalmente, $f$ es un límite uniforme de la función continua, entonces es continua, así que hemos terminado.

Answer 2

Una pista: Basta con demostrar que $C([0,1])$ es un conjunto cerrado en $B([0,1])$ donde $B[(0,1)]$ consiste en todas las funciones limitadas y luego la prueba de que $B([0,1])$ (con la norma máxima) está completa.