Acerca de las secuencias sumables$p$

Question

¿Cómo probar que $\ell^p \setminus \cup_{1\leq q

Aquí $\ell^p=L^p(\mathbb{N})$.

Answer 1

Si $p=+\infty$, solo tome $x(n)=1$ todos los $n\in \mathbb{N}$. Si $p=1$, no hay nada que demostrar. Si $p\in(1,+\infty)$ considera $$ x(n)=\frac{1}{(n+2)^{1/p}\log(n+2)} $$ Así tenemos $$ \Vert x\Vert_p= \left(\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{(n+2)\log^p(n+2)}\right)^{1/p}\leq \left(\int\limits_{0}^\infty\frac{du}{(u+2)\log^p(u+2)}\right)^{1/p}= $$ $$ \left(\int\limits_{2}^\infty\frac{du}{u\log^p u}\right)^{1/p}= \left(\int\limits_{2}^\infty\frac{du}{u\log^p u}\right)^{1/p}= \left((1-p)^{-1}\log^{1-p} 2\right)^{1/p}< +\infty $$ Por eso, $x\in l^p$. Por otra parte, para todos los $q\in[1,p)$ hemos $$ \Vert x\Vert_q= \left(\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{(n+2)^{p/p}\log^q(n+2)}\right)^{1/q}\geq \left(\int\limits_{1}^\infty\frac{du}{(u+2)^{p/p}\log^q(u+2)}\right)^{1/q}= \left(\int\limits_{3}^\infty\frac{du}{u^{p/p}\log^q u}\right)^{1/q} $$ Ahora,voy a probar que la última integral es divergente. Desde $p>q$, luego $$ \lim\limits_{u\to\infty}\frac{u^{\frac{p-q}{2}}}{\log^q u}=+\infty $$ y como consecuencia no existe $u_0>3$ tal que $$\frac{u^{\frac{p-q}{2}}}{\log^q u}>1 $$ Entonces $$ \int\limits_{u_0}^\infty\frac{du}{u^{p/p}\log^q u}= \int\limits_{u_0}^\infty \frac{u^{\frac{p-q}{2}}}{\log^q u}\frac{du}{u^{1-\frac{p-q}{2}}}>\int\limits_{u_0}^\infty \frac{du}{u^{1-\frac{p-q}{2}}}=+\infty $$ $$ \Vert x\Vert_q\geq \left(\int\limits_{3}^\infty\frac{du}{u^{p/p}\log^q u}\right)^{1/q}> \left(\int\limits_{u_0}^\infty\frac{du}{u^{p/p}\log^q u}\right)^{1/q}=+\infty $$ Por lo $x\notin l^q$ todos los $q\in[1,p)$. Por lo tanto $x\in l^p\setminus\left(\bigcup\limits_{1\leq q<p} l^q\right)$

Answer 2

Otros usuarios dieron un ejemplo explícito. Teorema de Baire, según lo sugerido por Jose27, puede también ser utilizado. Abogamos por la contradicción. Definir $$Fn:=\left{x\in\ell^p\mid \sum{k=1}^\infty|x_k|^{p-\frac 1n}\leqslant n\right}.$ $ desde convergencia en $\ell^p$ implica convergencia de pointwise, se cierra cada $F_n$ y $\ell^p=\bigcup_nFn$ (bajo el supuesto de $\bigcup{1\leqslant q\lt p}\ell^q=\ell^p$) porque si $x\in \ell^{p-\frac 1{n0}}$, entonces el $\lVert x\rVert{p-\frac 1n}\leqslant\lVert x\rVert_{p-\frac 1{n_0}}$ $n\geqslant n0$ toma así $n$ tal que $n^{p-\frac 1n}\geqslant\lVert x\rVert{p-\frac 1{n_0}}$.

Por el teorema de Baire categorías, conseguimos que el $\ell^p$ está contenida en un $\ell^{p_0}$ $p_0\lt p$, que no es posible.

Answer 3

¿chessmath, estan relacionados a algún chico?
Si no, véase la pregunta hay una secuencia nula no $\ell_p$ $p y utilice el hecho en mi respuesta.

Answer 4

Consejo: Intenta construir un elemento de la forma $(n^\alpha)_{n\in\mathbb{N}}$ $\alpha\in\mathbb{R}$ bien elegidos.