Acerca de funciones no lineales $f$ y $g$ tal que $f(x+y)=g(x)+g(y)$

Question

¿Existen funciones no lineales $f$ y $g$ tal que $f(x+y)=g(x)+g(y)$para cada % de $x$ y $y$?

Tal vez haya una solución trivial, pero no puedo verlo. Gracias.

Answer 1

Fácil ver $f(0)=2g(0)$.

Que $y=0$, obtenemos $f(x)=f(x+0)=g(x)+g(0)$, es decir, $g(x)=f(x)-g(0)$.

Por lo tanto, $f(x+y)=g(x)+g(y)=[f(x)-g(0)]+[f(y)-g(0)]=f(x)+f(y)-f(0)$. Por otra parte, $f(x+y)-f(0)=[f(x)-f(0)]+[f(y)-f(0)]$.

% De Def $h(x)=f(x)-f(0)$, uno tiene $h(x+y)=h(x)+h(y)$. $\forall x,y \in \mathbb{R}$.

De esto podemos mostrar que $h(r)=h(1)r$ $\forall r \in \mathbb{Q}$. Además asumir que $f(x)$ es continua, por lo tanto es $h(x)$. Entonces $h(x)=h(1)x$ $\forall x \in \mathbb{R}$. Es decir, $f(x)-f(0)=[f(1)-f(0)]x$, $f(x)=[f(1)-f(0)]x+f(0)$, $f$ por lo tanto es lineal.