He leído que hay algunas versiones no estándar de la teoría de conjuntos que permiten la existencia de un conjunto universal. Mi primera pregunta es: ¿qué se puede decir (si es que se puede decir algo) sobre la cardinalidad del conjunto universal en tales teorías? ¿Es mayor que la cardinalidad de cualquier otro conjunto? Supongo que el teorema de Cantor falla en esas teorías, así que me pregunto si hay una cardinalidad mayor según ellas (y, en particular, si esa cardinalidad mayor, si existe, está asociada al conjunto universal). Más en general, ¿existen realmente teorías de conjuntos según las cuales haya una mayor cardinalidad?
Respuestas
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Tenga en cuenta que cualquier teoría de conjuntos medianamente decente con un conjunto universal le permitirá formar la función $x\mapsto x$ restringido a cualquier conjunto. Este es ciertamente el caso de $\mathsf{NF(U)}$ o teoría de conjuntos positivos. Esto proporciona una inyección de cualquier conjunto en el universo, lo que significa que cada conjunto tiene cardinalidad $\leq V$ .
En cuanto a lo que se puede decir de esta cardinalidad, depende. Aquí hablaré sólo de $\mathsf{NF(U)}$ ya que no estoy lo suficientemente familiarizado con las teorías de conjuntos positivos. La elección es inconsistente con $\mathsf{NF}$ por lo que es difícil decir algo en particular sobre la cardinalidad de $V$ utilizando la terminología estándar. En este escenario, el teorema de Cantor falla y no sólo es $|\mathcal{P}(V)|=|V|$ pero $\mathcal{P}(V)=V$ . Sin embargo, se cumple una forma del teorema de Cantor: $|\{\{x\}:x\in X\}|<|\mathcal{P}(X)|$ para todos los conjuntos $X$ . Dado que hay una cardinalidad mayor, muestra que $V$ no puede tener el mismo tamaño que cualquier conjunto de unicolores -esto es realmente una especie de resultado fundamental sobre la cardinalidad de $V$ en $\mathsf{NF(U)}$ .
En $\mathsf{NFU}$ Cuando podemos restablecer la elección, las afirmaciones sobre qué tipo de cardinal es el universo parecen ser bastante no triviales; no tiene por qué ser, digamos, inaccesible, pero es consistente (módulo de algunos cardinales grandes en la metateoría) suponer que lo es. Curiosamente, las cardinalidades del conjunto de los singletons, de los singletons de los singletons, etc. serán también cardinales inaccesibles más pequeños. En $\mathsf{NFU+Choice}$ el teorema de Cantor también falla, pero falla aún más porque ahora $|\mathcal{P}(V)|<|V|$ ¡! Sin embargo, la relación entre el conjunto de los monotonos de los miembros de $X$ y el conjunto de poderes de $X$ sigue siendo exactamente igual que en $\mathsf{NF}$ .
Eric Haskins
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La NF hereditariamente finita [1] admite un modelo sencillo en el que el conjunto universal tiene un número contable de elementos, pero la NF(U) hereditariamente finita permite añadir al conjunto universal un número arbitrario de ureles, por lo que lo único que se puede decir es que el conjunto universal tiene alguna cardinalidad infinita.
[1]: Es una teoría introducida por Thomas Forster cuyos conjuntos son los conjuntos hereditariamente finitos de ZF más los conjuntos que es posible obtener a partir de éstos sustituyendo las "hojas" (es decir, los conjuntos vacíos en el árbol de pertenencia) por el conjunto universal. Forster demostró que esta estructura es sólo la parte hereditariamente finita de NF.
