Éste tiene un alto grado de obviedad. Paradójicamente, me resulta difícil deducir de proposiciones primitivas. El libro insinúa solamente ❋4.21 y ❋4.22.
Respuestas
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$\textbf{Edit:}$ Mi comprobante original tenía una brecha en la derivación de lo que yo sé de la llamada declaración de $B$. He añadido las correspondientes proposiciones que permiten a uno para llenar el vacío.
Tengo la segunda edición, pero creo que eso no debería importar demasiado. No voy a dar una completa Russell-Whitehead estilo de la prueba, pero usted debería ser capaz de construir uno a partir de mi respuesta. Voy a usar la notación moderna, de modo que mi respuesta puede ser más ampliamente entendido.
En notación moderna, estamos tratando de demostrar
$\:\:\:\:\textbf{*4.86.}\:\:\:\:\:\:\:\: (p \iff q) \Rightarrow \left\{(p \iff r) \iff (q \iff r)\right\}$
El texto sugiere que debemos utilizar proposiciones $*4.21.$ $*4.22.$ estos son
$\:\:\:\:\textbf{*4.21.}\:\:\:\:\:\:\:\: (p \iff q) \iff (q \iff p)$
$\:\:\:\:\textbf{*4.22.}\:\:\:\:\:\:\:\: \left\{(p \iff q) \wedge (q \iff r)\right\}\Rightarrow (p \iff r)$
Por $*4.22.$ hemos
$\:\:\:\:\:\textbf{A.}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left\{(p \iff q) \wedge (q \iff r)\right\} \Rightarrow (p \iff r)$
La proposición $*4.36$ afirma que
$\:\:\:\:\textbf{*4.36.}\:\:\:\:\:\:\:\: (p \iff q) \Rightarrow \left\{(p \wedge r)\iff (q \wedge r)\right\}$
aunque la proposición $*4.84$ afirma que
$\:\:\:\:\textbf{*4.84.}\:\:\:\:\:\:\:\: (p \iff q) \Rightarrow \left\{(p \Rightarrow r) \iff (q \Rightarrow r)\right\}$
Mediante la aplicación de $*4.21.$ $*4.22.$ junto con estas dos proposiciones anteriores podemos probar
$\:\:\:\:\:\textbf{B.}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left\{(p \iff q) \wedge (p \iff r)\right\} \Rightarrow (q \iff r)$
La proposición $*3.3.$ afirma que
$\:\:\:\:\textbf{*3.3.}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left\{(p \wedge q) \Rightarrow r\right\} \Rightarrow \left\{p \Rightarrow (q \Rightarrow r)\right\}$
Aplicando esto a cada una de nuestras declaraciones de $A$ $B$ los rendimientos de las dos declaraciones
$\:\:\:\:\:\textbf{1.}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:(p \iff q) \Rightarrow \left\{(p \iff r) \Rightarrow (q \iff r)\right\}$
y
$\:\:\:\:\:\textbf{2.}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:(p \iff q) \Rightarrow \left\{(q \iff r) \Rightarrow (p \iff r)\right\}$
La proposición $*3.43.$ afirma que
$\:\:\:\:\textbf{*3.43.}\:\:\:\:\:\:\:\:\left\{(p \Rightarrow q) \wedge (p \Rightarrow r)\right\} \Rightarrow \left\{p \Rightarrow q \wedge r\right\}$
La aplicación de $*3.43.$ a las declaraciones de $1$ $2$ rendimientos
$$(p \iff q) \Rightarrow \left[\left\{(p \iff r) \Rightarrow (q \iff r)\right\} \wedge \left\{(q \iff r) \Rightarrow (p \iff r)\right\}\right]$$
$*4.86.$ a continuación, se desprende directamente de esta última afirmación mediante la aplicación de la definición de equivalencia dada en $*4.01.$
$\:\:\:\:\textbf{*4.01.}\:\:\:\:\:\:\:\:(p \iff q) \equiv_{\operatorname{def}} (p \Rightarrow q) \wedge (q \Rightarrow p)$
Por cierto, me gustaría añadir que me hace feliz de ver a otras personas interesadas en el estudio de los Principia. Quizás Russell pesadilla no de verdad por algún tiempo todavía.
Mauro ALLEGRANZA
Puntos
34146
Creo que podemos simplificar un poco de Albert prueba.
De :
$*4.22. \vdash (p \equiv q) \land (q \equiv r) \supset (p \equiv r)$
aplicación :
$*3.3.\vdash ((p \land q) \supset r) \supset (p \supset (q \supset r))$
llegamos directamente :
$\vdash (p \equiv q) \supset ((q \equiv r) \supset (p \equiv r))$.
Ahora, se reiniciará a partir de :
$*4.22. \vdash (q \equiv p) \land (p \equiv r) \supset (q \equiv r)$
para obtener de la misma manera :
$\vdash (q \equiv p) \supset ((p \equiv r) \supset (q \equiv r))$.
Ahora, el uso de $*4.21. \vdash (p \equiv q) \equiv (q \equiv p)$ tenemos :
$\vdash (p \equiv q) \supset ((p \equiv r) \supset (q \equiv r))$.
En este punto necesitamos
$*3.43. \vdash [(p \supset q) \land (p \supset r)] \supset (p \supset (q \land r))$
para obtener :
$\vdash (p \equiv q) \supset [((q \equiv r) \supset (p \equiv r)) \land ((p \equiv r) \supset (q \equiv r))]$
y por último, aplique $*4.01.$ (la def de $\equiv$) para obtener :
$*4.86. \vdash (p \equiv q) \supset ((p \equiv r) \equiv (q \equiv r)).$
