Mostrar que izquierda cosets de partición del grupo

Question

Sé cómo probar que sucede, por demostrar que la izquierda coset definición en realidad es una relación de equivalencia. A continuación, se demostró que las particiones del conjunto, ya que las relaciones de equivalencia hacerlo.

Sin embargo, este ejercicio me pide que demostrarlo en un diferente manera. Primero me pide demostrar que:

a) La unión de la izquierda cosets es igual a $G$

b) Si $gH \cap g'H \neq \emptyset$ $gH = g'H$

para $a)$ estoy pensando en las siguientes:

$gH = \{gh, h\in H\}$

Así que si $G = \{g_1, g_2, \cdots g_n\}$

Tendríamos la siguiente a la izquierda cosets:

$$g_1H = \{g_1h, h\in H\}$$ $$g_2H = \{g_2h, h\in H\}$$ $$\cdots$$ $$g_nH = \{g_nh, h\in H\}$$

La unión de todos estos conjuntos se incluyen todas las $g's$, ya que para cada conjunto de

$$g_k = \{g_kh, h\in H\}$$

tenemos

$$ge \in g_k = \{g_kh, h\in H\}$$

donde $e$ es la identidad.

Si queremos que la unión de todos estos conjuntos vamos a tener, al menos, todos los elementos de a $g$. Los otros elementos son meramente $gh$ algunos $h$. Pero desde $gh\in G$ serían elementos repetidos en la unión, no importa. Así, la unión de toda la izquierda cosets de $H$$G$$G$.

Es mi razonamiento correcto?

Además, ¿qué podía hacer para demostrar $b)$?

Answer 1

Aquí está la prueba de (b)

supongamos que hay un elemento $c \in gH \cap g^\prime H$, lo que significa que $c \in gH$$c \in g^\prime H$, esto significa que hay elementos $a,b \in H$ tal que $c = ga$ $c = g^\prime b$

ahora, esto implica que $$c=ga=g^\prime b$$ lo cual implica también que $$g = g^\prime b a^{-1}$$ porque podemos derecho multiplicar por $a^{-1}$ a cada lado.

Sin embargo, se observa que la $ba^{-1} \in H$ (Cierre de grupos)

y por lo $$g \in g^\prime H$$

y así para cualquier $a \in H$, $ga \in g ^\prime H$

lo que implica que $$gH \subseteq g^\prime H$$ Por un simétrica argumento ,$$g^\prime H \subseteq gH$$

y, por tanto, $$gH = g^\prime H$$

Su argumento para la parte (a) se Ve decente :)

Answer 2

Parte (1) se ve perfectamente bien.
Para la parte (2), se asume que $g_1H\cap g_2 H\ne(e).$

Entonces se deduce que, para algunos $h_1,h_2\in H, g_1h_1=g_2h_2$. Entonces $g_1h_1h_2^{-1}=g_2$. Pero desde $h_1h_2^{-1}\in H$, se deduce que $g_2\in g_1H$. Así $g_2=g_1h_3$ $h_3\in H$. Así $h_3=g_1^{-1}g_2$. Y así, mediante el cierre de $H$, todos los elementos de la forma $g_1^{-1}g_2h$ se encuentran en $H$, y así todos los elementos de la forma $g_1g_1^{-1}g_2h=g_2h$ se encuentran en $g_1H$. Y así se puede concluir que el $g_2H\subseteq g_1H$. Con lógica similar da que $g_1H\subset g_2H$ y por lo tanto, $g_1H=g_2H$.