Es ${\sqrt2^{\sqrt2^{\sqrt2^{\sqrt2^\sqrt2}}}}^{...}=4$ ¿correcto?

Question

Mi profesor me hizo esta pregunta. Pero creo que está mal. ¿Alguien encontró esto, antes que yo? No lo sé. De todos modos, ¿Es mi solución correcta?

${x^{x^{x^{x^x}}}}^{...}=2$

$x^2=2$

$x=\sqrt 2$

${\sqrt2^{\sqrt2^{\sqrt2^{\sqrt2^\sqrt2}}}}^{...}=2$

Ahora,

Déjalo, ${x^{x^{x^{x^x}}}}^{...}=4$

$x^4=4$

$x=\sqrt2$

${\sqrt2^{\sqrt2^{\sqrt2^{\sqrt2^\sqrt2}}}}^{...}=4$

¡Contradicción!

Answer 1

Es falso: este número se define como el límite de la secuencia: $$a_0=\sqrt2, \quad a_{n+1}={\sqrt{\rule{0pt}{1.8ex}2}}^{\,a_n}$$ Es fácil demostrar por inducción que esta secuencia es creciente y acotada desde arriba por $2$ . Así, por el teorema de convergencia monótona tiende a un límite $\ell\le 2$ que satisface la ecuación $$\ell=\sqrt{\rule{0pt}{1.8ex}2}^{\,\ell}\iff \log\ell=\frac{\ell\log 2}2\iff\frac{\log \ell}\ell=\frac{\log 2}2$$ Se sabe que esta ecuación tiene dos soluciones: $\ell=2$ o $\ell=4$ . Como $\ell\le 2$ El límite es en realidad el primero.

Answer 2

El problema es que la expresión $x^{x^{\dots}}$ está mal definida. Lo que se quiere hacer es tomar el límite de

$$x,x^x,x^{x^x},x^{x^{x^x}},\dots$$

Para $x=\sqrt2$ este límite es efectivamente $2$ . La razón por la que se obtiene $4$ es porque el límite de la secuencia

$$4,x^4,x^{x^4},x^{x^{x^4}},\dots$$

es $4$ cuando $x=\sqrt2$ y parece tener el mismo aspecto que la otra secuencia, sin embargo, no son iguales.

Answer 3

Lo que falta en su análisis es un par de si 's:

Si existe un número (real positivo) $x$ tal que ${x^{x^{x^{x^x}}}}^{...}=2$ entonces $x=\sqrt2$ .

y

Si existe un número (real positivo) $x$ tal que ${x^{x^{x^{x^x}}}}^{...}=4$ entonces $x=\sqrt2$ .

Ambas afirmaciones son verdaderas (¡lo has demostrado!). Así que podemos concluir que la función $f(x)={x^{x^{x^{x^x}}}}^{...}$ no puede tener ambos $2$ y $4$ en su gama.

Tenga en cuenta que el único valor de $x$ es decir obviamente en el ámbito de $f$ es $x=1$ .

Para demostrar que $\sqrt2^{\sqrt2^{\sqrt2^{\ldots}}}\not=4$ basta con demostrar, por inducción, que si $a_{n+1}=\sqrt2^{a_n}$ con $a_1=\sqrt2$ entonces $a_n\lt2$ para todos $n$ : El caso base es $a_1=\sqrt2\lt2$ Así que si $a_n\lt2$ entonces $a_{n+1}=\sqrt2^{a_n}\lt\sqrt2^2=2$ .