Cuántos puntos fijos existen para $f:[0,4]\to [1,3]$

Question

Dejó, $f:[0,4]\to [1,3]$ ser una función diferenciable tal que $f'(x)\not=1$ % todos $x\in [0,4]$. Entonces, ¿cuál es correcta?

(A) $f$ tiene a más de un punto fijo.

(B) $f$ tiene punto fijo único.

(C) $f$ tiene más de un punto fijo.

Aquí, $f:[0,4]\to [1,3]\subset [0,4]$ es continua y $[0,4]$ es compacto convexo. Así que por el punto fijo de Brouwer teorema $f$ tiene un punto fijo. ¿Pero soy incapaz de usar la condición $f'(x)\not=1$ y cómo puedo concluir que la cantidad de puntos fija existen $f$?

Answer 1

Supongamos que existen dos puntos fijos $a****

Por otra parte, como se observó en la pregunta hay al menos un punto fijo por el teorema del punto fijo de Brouwer, así que la respuesta correcta es (B). En sentido estricto, (A) es correcto, pero Supongamos que (B) es la mejor respuesta.

Answer 2

Cuenta que un derivado de la propiedad del valor intermedio. Por lo tanto si $f'(x)$ nunca es $1$, entonces el $f'(x)>1$ % todos $x$o $f'(x)

Answer 3

No necesita nada casi tan fuerte como el teorema del punto fijo de Brouwer para demostrar la existencia de al menos un punto fijo. Observe que $f(0) - 0 \ge 1 > 0$ y $f(4) - 4 \le -1

Ahora la pregunta es si podría haber más de un punto fijo, decir $f(x_1)=x_1$ y $f(x_2)=x_2$. Entonces, el teorema del valor medio nos dice que $de$$1 = \frac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1-x_2} = f'(c)$ $c$ entre $x_1$y $x_2$. Pero se le dio ese $f'(c)$ no puede ser igual al $1$.