Dado $2015$ puntos, demuestran que es posible separar de tal modo que de $1007$ de ellos se encuentran en el interior del círculo

Question

Supongamos que hay $2015$ los puntos de un plano, no hay tres colineales. Demostrar que se puede dibujar un círculo que exactamente $1007$ se encuentran dentro del círculo.

Aquí está mi solución:

Primero dibuja una línea que divide el plano en dos partes, una que contiene los $1007$ puntos y el otro que contiene a $1008$ puntos. Ahora dibuja un círculo tangente a esta línea, de tal manera que el centro del círculo se encuentra en el lado que contiene una $1007$ puntos. Tenga en cuenta que $1007$ puntos de cubrir sólo una cantidad finita de área. Pero podemos hacer de este círculo tan grande como nos gusta, y por lo tanto asegurarse de que los puntos que están dentro del círculo.

Tengo dos preguntas:

1) ¿Dónde estamos utilizando el "... no hay tres colineales" parte de la declaración? Creo que, desde un punto no tiene tamaño, siempre podemos dividir el plano en dos partes, una con $1007$ puntos y el otro en $1008$ puntos.

2) ¿Cómo riguroso es mi solución?

Answer 1

(Originalmente dejado esto como un comentario, ya que en realidad no responda a las preguntas 1) y 2) que rah4927 preguntó. Pero debido a la demanda popular me anuncio como respuesta.)

La suposición de que "no hay tres colineales" no es necesario. Para cada par de puntos de empate su mediatriz. Esto produce un conjunto finito de líneas. Elegir algún nuevo punto de no en cualquiera de estas líneas (ni ninguno de los puntos originales), y considerar la posibilidad de un creciente círculo centrado en este punto. Los puntos que va a pasar en él de una en una, así que en algún momento va a contener 1007 de ellos.

(Tenga en cuenta que nosotros hacemos uso de la simple suposición de que el original de 2015 puntos son todas diferentes. De lo contrario, todos ellos podrían ser el mismo punto y que no sería capaz de separar cualquiera de ellos.)

Answer 2

2) yo creo que tu solución es correcta. Sin embargo, al hacer que el argumento algo más constructivo, podemos hacer que la solución se sienten más riguroso (y vea por qué no tres conlinear cosa se aplica) de la OMI. Esto se aplica especialmente cuando usted elige su línea inicial.

Elegir un ultraperiféricas punto de los puntos de 2015. Ahora elija una línea que pasa a través de este punto, por lo tanto divide a la llanura, a un lado que contiene 2014 puntos y un lado que no contiene nada. Si esto no se puede hacer debido a que la línea elegida se ejecuta a través de un segundo punto tal que el punto de retención de lado termina con el 2013 puntos, a continuación, gire levemente su línea y el segundo punto cae dentro del punto de retención de la mitad. Ahora bien, si hay tres puntos colineales a nuestra línea elegida, queremos llegar a algo más, pero la pregunta que prohíbe explícitamente la posibilidad de tal situación.

Ahora, comienza a dar un giro a nuestra línea, vamos a lo largo de nuestro turno, de barrido a través de los puntos. Nunca vamos a barrer a través de 2 puntos a la vez como no hay tres puntos son colinear. Sigue dando hasta que se han cruzado en 1006 puntos. Ahora vamos a ser siempre capaz de mover ligeramente nuestra línea de nuestro ultraperiféricas punto inicial tal que recae en una mitad. Esto se desprende de considerar el hecho de que no hay menor número real.

Ahora el resto de tu argumento se aplica.

1) Usted puede estar preguntándose por qué no se trajo todo esto. Bien, usted podría tener muchos puntos de ser colinear, y muchos conjuntos de 3 puntos se colinear; y estoy bastante seguro de que siempre iba a ser todavía capaz de dividir los puntos en el 1008/1007, pero el algoritmo o proceso de dividir el plano se vuelve más difícil y arduo. En el algoritmo que hemos formada por encima de 3 puntos conlinear podría crear algunos problemas. Esencialmente, ya que estamos siendo tan abstracto sobre el proceso de la línea de la creación, nos tendría que dar argumentos de por qué sucede si nuestro parcialmente elegido de forma arbitraria punto y de la línea termina generando una problemática de caso.

Por lo tanto la condición sin tres conlinear poitns hace la tarea simple, no es necesario para la división del plano.

Answer 3

Para hacer que sea riguroso, imagine una línea de barrido (esto, como de costumbre, no es mi idea original) desde fuera en una dirección no a través de cualquiera de los dos puntos. A medida que pasa a través del enjambre, se divide en dos regiones donde la cualquier número deseado de puntos está en un lado de la línea. Usted puede entonces construir su círculo.