Si $a,b\in\mathbb R\setminus\{0\}$ y $a+b=4$, prueban que $(a+\frac{1}{a})^2+(b+\frac{1}{b})^2\ge12.5$.

Question

Si $a,b\in\mathbb R\setminus\{0\}$$a+b=4$, demuestran que, a $$\left(a+\frac{1}{a}\right)^2+\left(b+\frac{1}{b}\right)^2\ge12.5$$

Yo podría expandir todo: $$a^2+2+\frac{1}{a^2}+b^2+2+\frac{1}{b^2}\ge12.5$$

Restar $4$ desde ambos lados: $$a^2+\frac{1}{a^2}+b^2+\frac{1}{b^2}\ge8.5$$

Podríamos usar AM-GM aquí ($a^2,\frac{1}{a^2},b^2,\frac{1}{b^2}$ son todas positivas), pero obviamente no iba a hacer nada útil. Y todavía tenemos que usar el hecho de que $a+b=4$ de alguna manera.

He probado sustituyendo $b$$4-a$, pero después de eliminar los denominadores y simplifica nosotros no lo veo nada útil, sólo un azar del 6to grado del polinomio.

El polinomio es en realidad: $$2a^6-24 a^5+103.5 a^4-188 a^3+122 a^2-8 a+16\ge 0$$

¿Cómo podría solucionar esto? No podemos usar el cálculo por el camino. Gracias.

Answer 1

Usted puede hacer esto con el cuadrática-media aritmética: (esto es posible, debido a que $a^2\geq 0$.) $$\sqrt{\frac{a^2+b^2}2}\geq\frac{a+b}2\\ a^2+b^2\geq \frac{(a+b)^2}2=8$$ Ahora, usted sólo tiene a prueba de $\frac 1{a^2}+\frac 1{b^2}\geq \frac 12$. Al igual que antes, sabemos que $$\frac 1{a^2}+\frac 1{b^2}\geq \frac{(\frac 1a+\frac 1b)^2}2$$ Sabemos que el mínimo de$\frac 1a+\frac 1{4-a}$$a=2$, con resultado $1$. (Esto se puede hacer por la diferenciación, o se multiplican con $a(4-a)$ en primer lugar). Ahora podemos conseguir $$\frac 1{a^2}+\frac 1{b^2}\geq \frac{(\frac 1a+\frac 1b)^2}2\geq \frac 12$$

Answer 2

Sin pérdida de generalidad, podemos suponer $a\ge b$, así que vamos a escribir $a=2+x$, $b=2-x$ con $0\le x$. La desigualdad es claramente satisfecho si $a\ge4$, de modo que sólo necesita preocuparse por el rango de $0\le x\lt2$. Conectando en el OP de la desigualdad y la simplificación como locos, nos encontramos sólo necesitamos probar

$$f(x)=x^2+{(4+x^2)\over(4-x^2)^2}\ge{1\over4}\quad\text{for }0\le x\lt2$$

Ahora sí que no requieren cálculo para ver que la función de $f(x)$ es creciente en el intervalo $0\le x\lt2$: $x^2$ plazo es claramente creciente, y así es el cociente plazo, puesto que el numerador $4+x^2$ es creciente y el denominador $(4-x^2)^2$ está disminuyendo. Por último, desde el $f(0)={1\over4}$, podemos concluir que la desigualdad se cumple.