integral de línea

Question

¿Resolver $\int_K \frac{y}{x^2+y^2} dx -\frac{x}{x^2+y^2} dy$ =?

% K: $x^2+y^2=1$está orientada positivamente.

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Mi intento:

$\int_K \frac{y}{x^2+y^2} dx -\frac{x}{x^2+y^2} dy = |x=cost, y=sint,x'=- sint,y'=cost | $ = *

Pongo para $dx = -sint,dy=cost$

$= \int_0^{2\pi} \frac{sint}{cost^2+sint^2} -sint -\frac{cost}{cost^2+sint^2} cost dt= -\int_0^{2\pi} 1 dt = - 2 \pi $

No podemos utilizar Teorema de Green porque $P(x,y)$ y $Q(x,y)$ no continuadas y no continuas en el punto de sus diveratives. $(0,0)$?

Answer 1

Parece aceptable. Se puede utilizar a verde alimenta debido a la razón que indicó correctamente. Otra forma de ver este resultado es observar eso si $z = x+iy$ y ${\rm d}z = {\rm d}x+i\,{\rm d}y$, entonces $$\frac{y}{x^2+y^2}\,{\rm d}x - \frac{x}{x^2+y^2}\,{\rm d}y = {\rm Im}\left(-\frac{{\rm d}z}{z}\right),$$and so $% $ $ -{\rm Im} \int_{\Bbb S^1}\frac{{\rm d}z}{z} = -{\rm Im}(2\pi i) = -2\pi.$

Answer 2

Otro enfoque es % $ $$\frac{y}{x^2+y^2} dx -\frac{x}{x^2+y^2} dy=-\dfrac{x\,dy-y\,dx}{x^2+y^2}=-d\left(\arctan\dfrac{y}{x}\right)$ que $$\int_K \frac{y}{x^2+y^2} dx -\frac{x}{x^2+y^2} dy=-\int_K d\left(\arctan\dfrac{y}{x}\right)=-\int_0^{2\pi}dt=-2\pi$$