¿Cuáles son los núcleos de los homomorfismos de anillo que contienen el polinomio $X^2+1$ ?

Question

Dejemos que $\mathbb{R}[X]$ sea el anillo de polinomios sobre el campo de los números reales.

Escribe dos homomorfismos de anillo $\mathbb{R}[X]\rightarrow\mathbb{C}$ cuyos núcleos contienen el polinomio $X^2+1$ .

Mi intento/pensamiento:

Creo que lo que el ejercicio nos exige es definir dos funciones, digamos $\theta,\phi:\mathbb{R}[X]\rightarrow\mathbb{C}$ y luego demostrar que estas funciones son homomorfismos de anillo. Luego tenemos que demostrar que el núcleo de cada función contiene el polinomio $X^2+1$ es decir, demostrar que $X^2+1\in\ker\theta$ y $X^2+1\in\ker\phi$ .

Pero me cuesta pensar en tales funciones; no sé cómo derivarlas.

Agradecería cualquier pista/ayuda.

Gracias.

Answer 1

Bueno, sabemos que en $\Bbb{C}$ , hay dos ceros de $x^2+1$ : $i$ y $-i$ . Por lo tanto, podemos hacer simplemente $\theta$ la evaluación $f \rightarrow f(i)$ y $\phi$ el homomorfismo de evaluación $f \rightarrow f(-i)$ . En ambos casos, cuando $f=x^2+1$ los homomofismos se evalúan como $0$ :

$$\theta(x^2+1)=i^2+1=-1+1=0$$ $$\phi(x^2+1)=(-i)^2+1=-1+1=0$$

Por lo tanto, estos homomorfismos de evaluación son dos homomorfismos de anillo de $\Bbb{R}[X]$ a $\Bbb{C}$ tal que $x^2+1$ están en el núcleo.