¿Cuál es el intervalo que se relaciona con la media como el intervalo de igual cola se relaciona con la mediana y el intervalo de mayor densidad se relaciona con la moda?

Question

Cuando se resume una distribución continua unidimensional (por ejemplo, una distribución posterior) es habitual utilizar un intervalo de igual cola (también conocido como basado en cuantiles) o un intervalo de máxima densidad. El intervalo de igual cola al 95% corresponde conceptualmente a la mediana en el sentido de que cuando la cobertura del intervalo $\rightarrow 0\%$ el intervalo converge a la mediana. Del mismo modo, el intervalo de mayor densidad corresponde a la moda, ya que la moda es el punto de mayor densidad. Pero otro resumen puntual popular de una distribución continua es la media y mi pregunta es:

¿Cuál es el intervalo que corresponde a la media?

Eso es:

• ¿Cómo se llama ese intervalo?
• ¿Cómo se define/calcula?

Si alguien tiene un comentario sobre el enigma de por qué la media es una forma realmente popular de resumir una distribución mientras que el intervalo correspondiente no es tan popular (como es mi impresión).

Answer 1

No sé si el intervalo centrado en la media tiene un nombre especial, pero se me ocurre más de una forma en la que se podría definir un intervalo centrado en la media en el sentido de que el intervalo convergerá a la media a medida que la anchura del inválido sea cero. La más sencilla sería quizás el intervalo $$C = (\mu-k, \mu+k),$$ donde $\mu$ es la media y $k$ es el valor más pequeño para el que $P(x\in C)\ge 1-\alpha$ se mantiene.

De forma más general, se podría definir el intervalo centrado en la media como $$C = (\mu-a, \mu+b),$$ donde $a$ y $b$ son positivos y se eligen por algún procedimiento tal que de nuevo el intervalo tiene la credibilidad deseada.

Sin embargo, creo que hay buenas razones para considerar principalmente la región de mayor densidad y el intervalo de cola igual. Citando a Christian Robert ( La elección bayesiana ):

Considerar sólo las regiones HPD [highest posterior density] está motivado por el hecho de que minimizan el volumen entre $\alpha$ -regiones creíbles y, por lo tanto, pueden ser consideradas como soluciones óptimas en un entorno de decisión.

Las regiones de mayor densidad no son necesariamente intervalos conectados, lo que puede ocurrir, por ejemplo, cuando la distribución es multimodal. En este sentido, Robert escribe:

Cuando (...) la región de confianza no está conectada (...), la solución habitual solución es sustituir el HPD $\alpha$ -región creíble por un intervalo con colas iguales.