¿Por qué este enfoque a la solución de una ecuación trigonométrica no válidos soluciones junto a los válidos?

Question

Tengo la siguiente ecuación: $$\csc(4x) - \cot(4x) = 1$$ $$0 < x < 2\pi$$

Al principio, traté de resolverlo como este: $$\frac{1}{\sin(4x)} - \frac{\cos(4x)}{\sin(4x)} = 1$$ $$1 - \cos(4x) = \sin(4x)$$ $$1 = \sin(4x) + \cos(4x)$$ $$1^2 = \sin^2(4x) + \cos^2(4x) - 2\sin(4x)\cos(4x)$$ Luego, debido a que $\sin^2(4x) + \cos^2(4x) = 1$$2\sin(4x)\cos(4x) = \sin(8x)$: $$\sin(8x) = 0$$ dando a $$x = \frac{n\pi}{8} \text{, where n is an integer and } 1 \le n \le 15$$ Sin embargo, el uso de algunas de estas respuestas en el original de la función trigonométrica da un indefinido resultado, en lugar de 1. Esto sucede con $x = \pi$, por ejemplo. Sólo serán válidas las soluciones de llegar a ser como sigue: $$x = \frac{n\pi}{8} \text{, where } n = 1, 5, 9, 13 $$ Me di cuenta de cómo con algunos reorganización y el uso de algunas identidades trigonométricas, la ecuación original, $\csc(4x) - \cot(4x) = 1$ , podría ser expresada como: $$\tan(2x) = 0$$ $$\text{giving } x = \frac{n\pi}{8} \text{, where } n = 1, 5, 9, 13 $$

¿Por qué es que este segundo método se obtiene la correcta $x$ valores solo, mientras que el primer enfoque, los rendimientos de estos entre los 11 valores incorrectos para $x$? Hacer estos valores incorrectos provienen de algún tipo de error en el primer enfoque? Si no, ¿cómo es exactamente lo que vienen, y aparte de la sustitución en la ecuación original, ¿hay alguna forma fácil de discernir desde el válido?

Gracias por tu ayuda.

Answer 1

Primero se multiplica por $\sin{4x}$. Cuando esto es igual a cero, esto hace que la ecuación satisfecho automáticamente. Que el 8 de raíces más...

Además, debido al cuadrado, se pierde la información que $$ \sin{4x}+\cos{4x} = +1: $$ si usted cuadrado $$ \sin{4x}+\cos{4x} = -1, $$ se termina con la misma ecuación. Por lo tanto, usted se está resolviendo ambas ecuaciones: $$ 0 = (\sin{4x}+\cos{4x}+1)(\sin{4x}+\cos{4x}-1) = (\sin{4x}+\cos{4x})^2 - 1 $$

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Creo que esto es lo que hizo: $$ 1-\cos{2\theta} = 1-\cos^2{\theta}+\sin^2{\theta}=2\sin^2{\theta}, $$ así $$ \csc{4x}-\cot{4x} = \frac{1-\cos{4x}}{\sin{4x}} = \frac{2\sin^2{2x}}{2\sin{2x}\cos{2x}} $$ En este punto tenemos la preocupación de que $\sin^2{2x}=0$. Afortunadamente esto no importa: hay dos en la parte superior, así que la respuesta sería cero de todos modos. Por lo tanto, obtener su $\tan{2x}=1$, y luego tienes las soluciones correctas. (Pero tenga en cuenta que he comprobado cuando he cancelado términos que podría ser cero)

Answer 2

Sugerencia:

En su primera solución tiene dos pasos fundamentales:

1) whan que multilpy por $\sin (4x)$ debe tener $\sin (4x) \ne 0$ (esto excluye las soluciones de $ k \pi / 8 $ con $ k $)

2) whan que square $1=\sin(4x)+\cos(4x)$ introducir incorrecto soluciones. (este exlude las otras soluciones como usted ha encontrar.)

Answer 3

Esto sucedió porque en su primer paso, se multiplica la ecuación por $\sin (4x)$. En cualquier momento que es 0, lo que hace que el conjunto de la ecuación de $0=0$, sin sentido, y de hecho, las funciones originales no están definidos al $\sin (4x)=0$. Estos son los llamados "soluciones extrañas" o "extrañas raíces", y eso ocurre cuando se hacen operaciones matemáticas que no siempre son válidas.

Answer 4

El problema vino cuando al cuadrado ambos lados de la ecuación. También terminó con soluciones a $\sin4x+\cos4x=-1$ que tiene el mismo resultado cuando se eleva al cuadrado. En desacuerdo con las respuestas anteriores, multiplicando por $\sin4x$ no introducir soluciones extrañas ya que si $\sin4x$ eran iguales a $0$, ni la cotangente ni la cosecante sería definida.

No estoy seguro de qué identidades se utiliza para el segundo intento, pero me permiten ofrecer un tercer método. Si se multiplican ambos lados por $\csc4x+\cot4x$, se obtiene

$$\csc^24x-\cot^24x=\csc4x+\cot4x$$ $$\csc4x+\cot4x=1$$

Añadir esto a la ecuación original da

$$2\csc4x=2$$ $$\csc4x=1$$ $$\sin4x=1$$ $$4x=\frac\pi2+2\pi k$$ $$x=\frac\pi8+\frac{k\pi}2$$