La confusión en la comprensión de por qué conjunto vacío es un subconjunto de todo conjunto

Question

declaración 1 : Si $x \in \emptyset$$x \in A$.

declaración 2 : Si $x \in \emptyset$$x \notin A$.

Sé que las dos afirmaciones son verdaderas ya que la hipótesis es falsa.

Pero la primera declaración dice que $\emptyset \subset A$, mientras que la segunda declaración dice que $\emptyset$ no es un subconjunto de a $A$.

Mi pregunta es ¿por qué preferimos $\emptyset \subset A$ sobre la otra implicación que $\emptyset$ no es un subconjunto de a $A$? Gracias.

Answer 1

La declaración de

(Para todos los $x$,) si $x\in B$$x\notin A$.

¿ no dicen que $B$ no es un subconjunto de a $A$. En fin decir que $B$ no es un subconjunto de A, usted tendría que decir

Hay un $x\in B$ tal que $x\notin A$.

Este es vacuously falsos , a continuación,$B$$\varnothing$.

Answer 2

Segunda declaración muestra que $$\emptyset \subseteq A^c$$, que también es verdad. No estamos preferir uno sobre el otro. Ambas son verdaderas.

Edit 1: La segunda declaración no implica que $\emptyset$ no es un subconjunto de a $A$. Para que usted tendría que existe $x \in \emptyset$ tal que $x \in A$. Este es de hecho falso.

Edit 2: Lo de la segunda declaración implica es $\emptyset \cap A=\emptyset.$

Answer 3

En primaria la teoría de conjuntos, cada conjunto puede ser definido como: $A=\{x\mid P(x)\}$ donde $P(x)$ es un predicado con conexión variable $x$, y cada subconjunto como $B=\{x\mid x\in A\wedge Q(x)\}$ con predicado $Q$.

Definir $\emptyset_A=\{x\mid x\in A\wedge x\not\in A\}$. Este es un subconjunto de a $A$, el vacío es subconjunto de a $A$. Para cualquier otro conjunto $B$, definir de manera similar $\emptyset_B=\{x\mid x\in B\wedge x\not\in B\}$ ya que el vacío es subconjunto de a $B$.

Pero $\emptyset_A=\emptyset_B$, ya que el $x\in\emptyset_A\Leftrightarrow x\in A\wedge x\not\in A\Leftrightarrow x\in B\wedge x\not\in B\Leftrightarrow x\in\emptyset_B$. En la 2ª de equivalencia, una falsa afirmación es sustituida por otra falsa afirmación.

Por lo tanto, el vacío es subconjunto de un conjunto $A$ es independiente del conjunto de $A$ sí mismo y por lo que podemos hablar de que el conjunto vacío poniendo $\emptyset=\emptyset_A$.