La invariancia de la curvatura en virtud de un conformal mapping

Question

Deje $\Omega_{1}, \Omega_{2} \subseteq \mathbb{C}$ estar delimitado dominios. Deje $\rho$ ser una métrica en $\Omega_2$ $h: \Omega_1 \rightarrow \Omega_2$ un conformal mapping. Vamos $$h^*\rho(z) = \rho(h(z))\cdot|h'(z)| $$ be the pullback metric on $\Omega_1$. According to the definition I have been given, the curvature on $(\Omega_2,\rho)$ es

$$K_{\Omega_2,\rho}(z) = -\frac{\Delta \log(\rho(z))}{\rho(z)^2}$$

Se afirmó entonces que $K_{\Omega_1,h^*\rho}(z) = K_{\Omega_2,\rho}(h(z))$, es decir,

$$ -\frac{\Delta \log(\rho(h(z))\cdot|h'(z)|) }{(\rho(h(z))\cdot|h'(z)|)^2} = -\frac{\Delta \log(\rho(h(z)))}{\rho(h(z))^2}$$

Yo no puede derivar de este resultado, sin embargo, y, francamente, me parece dudoso. Es esto cierto?

Answer 1

El cálculo es bastante doloroso. Creo que el Teorema 2.5.4 de esto debe hacer el truco.

Answer 2

Mediante la retirada de métrica $h^*[\rho ds]$$\Omega_1$, girar el mapa de $h:(\Omega_1, h^*[\rho ds])\to (\Omega_2, \rho ds)$ a de un espacio métrico isometría, y la noción de curvatura es un geométricas invariantes. Así que, necesariamente, las dos son equivalentes (y NO es un cálculo para hacer!!!: -)