Álgebra, subespacio,independencia lineal de vectores.

Question

En $R^{3}$ se dan 3 vectores $\begin{bmatrix}0\\1\\-1\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}-1\\0\\1\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}1\\-1\\0\end{bmatrix}$. Encontrar la dimensión y la base del subespacio generado por estos vectores.

$\alpha \cdot\begin{bmatrix}0\\1\\-1\end{bmatrix}$ $+\beta\cdot\begin{bmatrix}-1\\0\\1\end{bmatrix}$ $+\gamma\cdot\begin{bmatrix}1\\-1\\0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\\0\end{bmatrix}$ podemos recibir: $\alpha=\beta=\gamma$, por lo que no son linealmente independientes?

Pero cada dos vectores son linealmente independientes, por lo que la dimensión de la base: dim=$R^{2}$ , y la base del subespacio es, por ejemplo, $\left\{ \begin{bmatrix}0\\1\\-1\end{bmatrix},\begin{bmatrix}-1\\0\\1\end{bmatrix} \right\}$ debido a que estos dos son linealmente independientes. Es correcto? ¿He entendido bien?

Answer 1

Sí tienes razón. Un conjunto de vectores constituye una base sólo si son linealmente independientes, lo que significa que no hay otra solución que existe la solución trivial para la combinación lineal, el cual es:

$\alpha=0; \beta=0; \gamma=0$ que han demostrado no estar satisfecho.

También, la dimensión de un espacio está dada por la cardinalidad de la base, el número de vectores del conjunto. En su caso, $\dim_{R}R^{2}=2$ desde la base que has elegido para el subespacio tiene dos vectores.