Es $L^1_{loc}(\mathbb{R})$ completa con la norma $|f|=\sup_{x\in \mathbb{R}}\int_x^{x+1}|f(y)|dy$

Question

Deje $BL^1_{loc}$ ser el espacio localmente integrable funciones de $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ tal que $|f|=\sup_{x\in \mathbb{R}}\int_x^{x+1}|f(y)|dy<\infty$. Es este espacio completo ?

Lo que he intentado: Deje $(f_n)_{n\in \mathbb{N}}$ ser una secuencia de $BL^1_{loc}$ tal que $$\sup_{x\in \mathbb{R}}\int_x^{x+1}|f_p(y)-f_q(y)|dy\to0,$$ when $p,q\to\infty$. Then, we have $$\int_{-N}^{N}|f_p(y)-f_q(y)|dy\to0,$$ for any $N$, so the sequence of functions $f_n$ is Cauchy in $L^1([-N,N])$ for each $N$, so we have an $L^1-$limit function $f$ for each compact interval, but I don't know if this function satisfies $$\sup_{x\in \mathbb{R}}\int_x^{x+1}|f_n(y)-f(y)|dy\to 0.$$I see that I didn't use the fact that we have uniformity for $x\in \mathbb{R}$.

Answer 1

Sí, es completa. En primer lugar, observar que su norma es comparable a la de la simplificación de la norma $$ \|f\| = \sup_{n\in\mathbb{Z}} \int_n^{n+1}|f(y)|\,dy \etiqueta{1} $$ De hecho, $\|f\|\le |f|\le 2\|f\|$ porque cada intervalo de longitud de $1$ está contenida en un intervalo de la forma $[n,n+2]$.

El espacio de con $(1)$ es sólo la suma directa de $\bigoplus_\infty X_n$ de los espacios de Banach $X_n=L^1([n,n+1])$. La suma directa de conserva de integridad, que es estándar y demostrado aquí.