Hipersuperficie en $\mathbb P^{n}$ y una secuencia exacta

Question

Deje $X$ ser una hipersuperficie en $\mathbb P^{n}$ definido por la fuga de un homogénea de grado $k$ polinomio.

¿Por qué es la secuencia

$0 \rightarrow \mathcal O(-k) \rightarrow \mathcal O_{\mathbb P^{n}} \rightarrow i_{*} \mathcal O_{X} \rightarrow 0$

(donde $i_{*}$ es la inclusión de $X$ a $\mathbb P^{n}$)

exacto?

Yo he visto a este equipo o en una declaración similar (ligeramente más/menos general) que se hace referencia en varias fuentes, incluyendo Hartshorne y siempre es establecido como un hecho.

Answer 1

El ideal de la gavilla de un grado $k$ hipersuperficie es isomorfo a $\mathcal O(-k)$. Más precisamente, el ideal de la gavilla $\mathcal I_X$ es un subsheaf de $\mathcal O_{\mathbb P^n}$, y el isomorfismo $\mathcal O(-k) \cong \mathcal I_X \subset \mathcal O_{\mathbb P^n}$ está dada por la multiplicación por $f$. (Tenga en cuenta que $f$, siendo un grado $k$ polinomio, es una sección global de $\mathcal O(k)$, y así la multiplicación por $f$ incrusta $\mathcal O(-k)$ a $\mathcal O_{\mathbb P^n}$.)

Ahora la breve secuencia exacta $0 \to \mathcal I_X \to \mathcal O_{\mathbb P^n} \to i_* \mathcal O_X \to 0$ es el estándar de corta secuencia exacta que se refiere el ideal de la gavilla de la subvariedad $X$ a su estructura y su gavilla.

Answer 2

Tenga en cuenta que si $f$ es un polinomio de grado $e$, entonces tenemos la siguiente secuencia exacta:

$0 \longrightarrow S(-e) \longrightarrow S \longrightarrow S/(f) \longrightarrow 0$,

donde $S$ es el polinomio anillo de $k[x_0,\ldots ,x_n]$.

[pequeño edit:Esto viene de la consideración de libre de graduado resoluciones de $S/(f)$. Si usted no puede ver esto, una gran fuente para este tipo de cosas es "el Uso de la geometría algebraica" por Cox, Poco y O'Shea.]

Si a continuación, aplicamos el functor exacto $\tilde{}$ descrito en Hartshorne en el Capítulo 2,sección 5, la cual se asocia un $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^{n}}$-módulo para cada graduado $S$-módulo(en este caso $\tilde{S} = \mathcal{O}_{\mathbb{P}^{n}}$), se obtiene la deseada secuencia exacta.

Esta breve secuencia exacta es muy interesante, ya que permite calcular la gavilla cohomology de hypersurfaces.