podemos encontrar todos los $n$ tal que $p$ divide $n! - 1$? Me encontré con este problema, mientras que tratando de resolver una ecuación funcional. Necesito demostrar que $n=1$ $n=p-2$ son las únicas soluciones (para p suficientemente grande)
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rtybase
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Totalmente impráctico respuesta, pero muy precisa. Recuerdo que, cuando me enteré de Wilson del teorema de hace muchos años, mi maestro diciendo: "Es un práctico teorema, pero útil para los teóricos fines."
Para $n! \equiv 1 \pmod{p}$ necesitamos $n < p$ (de lo contrario, tenemos $p \mid 1$). Wilson del teorema da 2 soluciones, como se dijo, $1$$p-2$. Por nada en el medio $$n! \equiv 1 \pmod{p} \iff (p-2)! \equiv (n+1)(n+2)...(p-2) \pmod{p} \ffi\\ 1 \equiv (n+1)(n+2)...(p-2) \pmod{p}$$ o $$n! \equiv (n+1)(n+2)...(p-2) \pmod{p}$$ o $$n! \equiv (n+1)(n+2)...(p-3)(-2) \pmod{p}$$ $$n! \equiv (n+1)(n+2)...(p-4)(-3)(-2) \pmod{p}$$ $$...$$ $$n! \equiv (p-(p-n-1))...(-4)(-3)(-2) \pmod{p}$$ $$n! \equiv (-1)^{p-n-2}(p-n-1)...(4)(3)(2) \pmod{p}$$ $$n! \equiv (-1)^{p-n-2}(p-n-1)! \pmod{p}$$ o para $p>2$ $$n! \equiv (-1)^{n+1}(p-n-1)! \pmod{p}$$
rlpowell
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No hay una forma directa de la producción de contraejemplos: Si $n\ge4$ es un número y $p$ es cualquier factor principal de $n!-1$, $p$ divide $n!-1$ $1\lt n\not=p-2$ (desde $n$ es incluso y $p-2$ es impar).
Los números impares $n$ también, en general, producir contraejemplos, ya $n!-1$, en general, tienen factores primos distintos de $n+2$. Por ejemplo, $5!-1=119=7\cdot17$ da el contraejemplo $(p,n)=(17,5)$.
Por último, desde el $p\mid(n!-1)$ implica $p\gt n$ ( $n\gt2$ ), es claro que esta construcción produce contraejemplos con arbitrariamente grandes números primos $p$.
