Una pregunta acerca de la prueba de que para el primer p, p divide a k(p), donde k() es la secuencia Perrin

Question

Definir la secuencia de Perrin $k(1)=0$, $k(2)=2$, $k(3)=3$, y $k(n)=k(n-2)+k(n-3)$. Nos encontramos con que la mayoría de las $n$ divide $k(n)$ fib $n$ es primo, aunque hay algunas excepciones llamado "Perrin Pseudo-números primos."

Pero la evidente conjetura sólo falla por $n$ compuesto, nos encontramos con que cada vez que $p$ es primo, $p | k(p)$. Sin embargo, la prueba usual va como sigue.

Vamos $\alpha$, $\beta$, y $\gamma$ ser las raíces del polinomio característico $x^3-x-1$. A continuación, una simple inducción argumento muestra que el $k(n)=\alpha^n+\beta^n+\gamma^n.$

Ahora considere el $(\alpha+\beta+\gamma)^p = \alpha^p+\beta^p+\gamma^p+p\sum(things)$. Ya tenemos $p$ veces algo, si tenemos en cuenta que este módulo $p$ obtenemos:

$$(\alpha+\beta+\gamma)^p = \alpha^p+\beta^p+\gamma^p$$

y hemos terminado, porque $\alpha+\beta+\gamma = 0$. Y eso estaría bien si las cosas en el balance fueron los números enteros.

Pero no lo son.

Así que mi pregunta es: ¿por qué es de suma considerado siempre como un entero, cuando las cosas en la suma son las raíces de la cúbico, y no integral?

Todos los documentos que he leído parecen dar esto por sentado, así que estoy seguro de que debe de faltar algo simple.

Gracias.

Answer 1

Debido a que la suma es un polinomio simétrico en $\alpha,\beta,\gamma$ con coeficientes enteros, por lo que debe ser un entero polinomio de $s_1=\alpha+\beta+\gamma=0$, $s_2=\alpha\beta+\alpha\gamma+\beta\gamma=-1$ y $s_3=\alpha\beta\gamma=1$.

En realidad se puede escribir la fórmula, precisamente, como:

$$\begin{align}\alpha^p+\beta^p+\gamma^p &= \sum_{i+2j+3k=p}\frac{p}{i+j+k}\binom{i+j+k}{i,j,k}s_i^i(-s_2)^js_3^k\\ \end{align}$$

Al $\alpha+\beta+\gamma=0$, esto se convierte en:

$$\alpha^p+\beta^p+\gamma^p = p\sum_{2j+3k=p} \frac{1}{j+k}\binom{j+k}{k}(-s_2)^js_3^k$$

Si por supuesto, se necesita un poco de esfuerzo para demostrar que $\frac{1}{j+k}\binom{j+k}{k}$ es un número entero al $2j+3k$ es primo, o se puede aplicar el teorema general sobre polinomios simétricos.

Ahora, una forma de ver eso en este caso es el de examinar la generación de la función:

$$\begin{align}\sum_{n=0}^{\infty} (a^n+b^n+c^n)z^n &= \frac{1}{1-az}+\frac{1}{1-bz}+\frac{1}{1-cz}\\ &=\frac{1-2s_1z+s_2z^2}{1-s_1z+s_2z^2-s_3z^3}\\ &=(1-2s_1z+s_2z^2)\sum_{n=0}^\infty \left(s_1z-s_2z^2+s_3z^3\right)^n \end{align}$$

Sólo un número finito de términos en el lado derecho de contribuir a un solo término de la izquierda.

Answer 2

Si en lugar de $\alpha,\beta,\gamma$ consideramos las variables de $x,y,z$, entonces lo que hemos denotado por $\sum(things)$ es en realidad un polinomio simétrico en $x,y,z$ con coeficientes enteros. Hay un teorema, llamado teorema fundamental de los polinomios simétricos que se señala que un polinomio puede ser también expresado como un polinomio con coeficientes enteros no en $x,y,z$, pero en $e_1(x,y,z),e_2(x,y,z),e_3(x,y,z)$, primaria simétrica polinomios en $x,y,z$.

Ahora usted puede ver fácilmente que $e_1(\alpha,\beta,\gamma), e_2(\alpha,\beta,\gamma), e_3(\alpha,\beta,\gamma)$ son, por Vieta fórmulas, exactamente los coeficientes del polinomio característico, que son números enteros. Así que sabemos que $\sum(things)$ se puede expresar como un polinomio con coeficientes enteros con variables enteras, por lo que es un número entero.