Encontrar un ejemplo donde las variables aleatorias $X_1,X_2,X_3$ son pares de independiente, pero no todos juntos.

Question

Encontrar un ejemplo donde las variables aleatorias $X_1,X_2,X_3$ son pares de independiente, pero no todos juntos. Realmente no puedo entender cómo tengo que hacerlo. ¿Cómo se hace? No puede ser cualquier multiplicación. Es una suma? He buscado por él, pero no entendía cómo se interpreta matemáticamente. Yo realmente podría utilizar su ayuda.

Answer 1

Deje $X_1,X_2$ ser independiente, uniforme variables en $\{-1,1\}$$X_3 = X_1X_2$.

Entonces cualquier par es independiente, pero cualquiera de los dos completamente determinar el tercero.

Answer 2

El ejemplo puede ser:

Experimento - dos monedas arrojadas.

$X_1$ - primer sorteo resultados en la cabeza.

$X_2$ - segundo sorteo de los resultados en la cola.

$X_3$ - uno de los lanzamientos es la cabeza, el otro es de la cola. $$P(X_1)=P(X_2)=P(X_3)=\frac{1}{2}$$ Es fácil comprobar que son pares independientes: $$P(A\cap B)=P(A) \cdot P(B)=\frac{1}{4}$$ $$P(A\cap C)=P(A) \cdot P(C)=\frac{1}{4}$$ $$P(B\cap C)=P(B) \cdot P(C)=\frac{1}{4}$$

Pero: $$P(A\cap B \cap C)=P(A \cap B) = \frac{1}{2}$$ Y: $$P(A)\cdot P(B) \cdot P(C) = \frac{1}{8}$$ Por lo tanto, estos eventos son pares independientes, pero no en condiciones de independencia mutua.