Resolver una ecuación en $\mathbb N$

Question

Estoy tratando de resolver la ecuación $$\frac {1}{x}+ \frac {1}{y}+ \frac {1}{z}= \frac {3}{5}.$$ He hecho los siguientes progresos: 1) $x, y z$ tienen que ser más grandes que $1$ 2) sólo una de las x, y, z puede ser $2$ El resto debe ser más grande. 3) WLOG que he asumido $2 \leqslant x \leqslant y \leqslant z$ . Sabiendo esto, $x$ tiene que ser más pequeño que $5$ . Cómo encontrar $y$ y $z$ para todos los casos de $x \in\ {2, 3, 4, 5\}$ para estar seguro de que estoy encontrando todos los casos? Gracias.

Answer 1

Esta lista no es exhaustiva. Pero es al menos una solución parcial.

$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{3}{5}.$$

Sabemos que $\dfrac{1}{ab}=\dfrac{1}{a(a+b)} + \dfrac{1}{b(a+b)}$

Dejemos que $x=2$ y se obtiene $\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{10}.$

Podemos utilizar $a=2$ y $b=5$ para conseguir

$$\frac{3}{5} = \frac{1}{2}+\frac{1}{14}+\frac{1}{35}.$$

Dejemos que $x=3$ y se obtiene $\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{4}{15}.$

Consideramos que $\gcd(a,b)=1$ . Entonces $\dfrac{1}{ag}+\dfrac{1}{bg}=\dfrac{a+b}{abg}=\dfrac{4}{15}$ . Parece que $a=1$ , $b=3$ y $g=5$ funcionará. Obtenemos

$$\frac{3}{5} = \frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{15}.$$

Dejemos que $x=4$ y se obtiene $\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{7}{20}.$

Consideramos que $\gcd(a,b)=1$ . Entonces $\dfrac{1}{ag}+\dfrac{1}{bg}=\dfrac{a+b}{abg}=\dfrac{7}{20}$ . No hay solución. A continuación probamos $\dfrac{1}{ag}+\dfrac{1}{bg}=\dfrac{a+b}{abg}=\dfrac{14}{40}$ . Entonces $(a,b,g)=(4,10,1)$ nos da

$$\frac{3}{5} = \frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{10}.$$

Dejemos que $x=5$ y se obtiene $\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{2}{5}.$

Consideramos que $\gcd(a,b)=1$ . Entonces $\dfrac{1}{ag}+\dfrac{1}{bg}=\dfrac{a+b}{abg}=\dfrac{2}{5}$ . Entonces $(a,b,g)=(1,1,5)$ nos da

$$\frac{3}{5} = \frac{1}{5}+\frac{1}{5}+\frac{1}{5}.$$

Answer 2

Se puede repetir el mismo tipo de argumento que has expuesto. Está claro que si $x=5$ debes tener $y=z=5$ . Si $x=4$ tienes $\frac 1y+\frac 1z=\frac 7{20}$ o $20(y+z)=7yz$ y $\frac 1y \ge \frac 7{40}$ así que $y \in \{4,5\}$ Obtenemos $(4,5,10)$ como la única solución. Si $x=3, \frac 1y+\frac 1z=\frac 4{15}$ y $y \in \{3,4,5,6,7\}$ . No hay demasiados casos que probar. Una hoja de cálculo y una copia hacia abajo pueden aliviar la carga.

Answer 3

Normalmente se recurre a la prueba y el error: Creo que hay otros métodos numéricos pero no los recuerdo de memoria. Podemos suponer $x\le y\le z$ .

Tenemos $$\frac1y< \frac3{5}-\frac1x \le \frac2y$$

$$\iff \frac{5x}{3x-5}<y\le \frac{10x}{3x-5}$$

Prueba y error:

1. $x=y=2 \Rightarrow z=\frac1{\frac3{5}-\frac12-\frac12}=-\frac5{2}$ así que esto no funciona.

...

$n.$ $\quad x=3,y=4...,z=60$ funciona. etc...

Answer 4

La ecuación anterior se muestra a continuación:

$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{3}{5}$

La ecuación anterior tiene una solución paramétrica que se da a continuación:

$(x,y,z) = (4p,12p,5pk)$

Dónde $p=(5k+3)/(9k)$

Para $k=2$ obtenemos:

$(x,y,z)= ((26/9),(78/9),(65/9))$