Esto está motivado por una pregunta que vi en otro lugar y que pregunta si hay una función de valor real en un intervalo que no contiene subintervalos monótonos.
Editar: Obsérvese que estoy pidiendo una función cuya derivada existe pero no es continuo en ninguna parte.
(Volver a añadir la respuesta de otra persona que fue borrada por alguna razón. )
Respuesta: NO : Si $f$ es diferenciable en todas partes en $\mathbb R$ entonces $f'$ es continua en alguna parte.
Supongamos que $f$ es diferenciable en todas partes. Entonces $f$ es continua en todas partes. Las funciones $$ g_n(x) = \frac{f\left(x+\frac{1}{n}\right)-f(x)}{\frac{1}{n}} $$ son continuas y convergen puntualmente en todas partes a $f'(x)$ . Por lo tanto, $f'(x)$ es de clase Baire $1$ y, por tanto, tiene muchos puntos de continuidad.
Considere la Función Weierstrass
Es continua en todas partes y sólo diferenciable en un conjunto de puntos con medida 0. No sé si eso te basta, pero creo que ya es bastante sorprendente.
Yo también lo pensé al principio, pero creo que la pregunta asume implícitamente que la función es diferenciable.
¿Tienes una referencia para tu afirmación de la función de Weierstrass? ¿Cuál es la caracterización del conjunto?
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Deberías aclarar si estás asumiendo que la función es diferenciable...
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Sí, gracias.
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Ver esta respuesta en el enlace de mathbeing. No existe tal función, porque el conjunto de puntos en los que una función diferenciable en todas partes es continua es un $G_{\delta}$ conjunto.