¿Cuál es la forma analítica de una función recursiva

Question

Esta tal vez una pregunta respondida en algunos libros de texto, tuve problemas para averiguar cómo resolverlo. Aquí es una función definida de forma recursiva,

$ F_1(x) = x $

$ F_2(x) = x^2 -2 $

$ F_n(x) = F_{n-1}^{2}(x) -2 $

Es allí una manera de expresar $F_n(x) $ en el plazo de $x$ directamente?

Answer 1

Sugerencia: $\;F_n = F_{n-1}^2 - 2 \iff \dfrac{F_n}{2} = 2 \left(\dfrac{F_{n-1}}{2}\right)^2 - 1\,$, entonces creo que de $\cos 2a = 2 \cos^2 a - 1$.

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[ EDITAR ] Vamos a $\,\dfrac{F_n}{2}=\cos a_n\,$, la recurrencia da $\,\cos a_n = 2 \cos^2 a_{n-1} - 1 = \cos 2 a_{n-1}\,$ a que la solución de$\,a_n = 2 a_{n-1}\,$. Por telescópica de la GP $\,a_n = 2^{n-1} a_1\,$, e $\,a_1=\arccos \dfrac{x}{2}\,$ a partir de la condición inicial $\,F_1 = x\,$, así que al final,$\,F_n(x) = 2 \cos \left(2^{n-1} \arccos\left(\dfrac{x}{2}\right)\right)\,$.

Lo anterior funciona para $\,|x| \le 2\,$, en los otros casos, es necesario recurrir a las funciones hiperbólicas como se hace para el trigonométricas definición de los polinomios de Chebyshev, que están de hecho relacionados con su $\,F_n\,$ por la relación $\,F_n(2x) = 2 T_{2^{n-1}}\left(x\right)\,$.