Actualización :
Como propuso @dmckee, añadí los números de las ecuaciones y mejoré la visualización de algunas ecuaciones.
La respuesta de @Trimok me inspiró a buscar sistemas de coordenadas que no son específicos de las ubicaciones de los detectores, sino más generales, y esto efectivamente aclaró las cosas ya que $\delta(\cos \theta + 1)$ es un $\delta(\cos \theta + \cos 0)$ disfrazado.
Tenemos una relación entre el delta de Dirac de un rayo en coordenadas esféricas, $\delta^2$ y el delta de Dirac de un punto, $\delta^3 = \delta(r-r_0)\delta(\theta-\theta_0)\delta(\phi-\phi_0)/(r^2 \sin \theta)$ , de tal manera que
$\delta^2 = \int_0^\infty \delta^3 \operatorname{d}r_0 = \delta(\theta-\theta_0) \delta(\phi-\phi_0) / (r^2 \sin\theta) \tag{E1}$
(Utilizando esta definición, se puede demostrar fácilmente que la propiedad de tamizado de $\delta^2$ se mantiene y el resultado es una integral de línea de algún $f$ .)
El mayor problema (de comprensión) que estoy teniendo se reduce ahora a esto: Tenemos dos expresiones para $\delta^3$ que son $\delta(r-r_0)\delta(\theta-\theta_0)\delta(\phi-\phi_0)/(r^2 \sin \theta) \tag{E2}$ y $\delta(r-r_0)\delta(\theta-\theta_0)\delta(\phi-\phi_0)/(r_0^2 \sin \theta_0) \tag{E3}$ Estos son totalmente simétricos en $x$ y $x_0$ (nota que $\delta$ es una función par).
Sin embargo, para $\delta^2$ tenemos $\delta(\theta-\theta_0)\delta(\phi-\phi_0)/(r^2 \sin \theta) \tag{E4}$ y $\delta(\theta-\theta_0)\delta(\phi-\phi_0)/(r^2 \sin \theta_0) \tag{E5}$ que ya no son simétricos. Así que lo que hace el $r$ destacan en comparación con $r_0$ ?
Una de las explicaciones que elaboré con la ayuda de un colega se dirige al hecho de que no hay $r_0$ después de la integración, por lo que tener cualquier $r_0$ sobredeterminaría el conjunto de rayos que pasan por el origen. ¿Alguien tiene una explicación mejor (por ejemplo, más intuitiva) de por qué se pierde aquí la simetría?
Gracias.
Pregunta original :
Esto es largo. Llevo bastante tiempo trabajando en esto, así que he resumido la mayor parte de lo que he descubierto. Sin embargo, estoy atascado en un punto determinado, y sería genial si alguien pudiera ayudarme.
Supongamos la siguiente situación: Dos fotones perfectamente colineales $p_1$ y $p_2$ se emiten en el origen de algún sistema de coordenadas cartesianas. Consideramos dos detectores infinitesimales $d_1$ y $d_2$ con superficies $\operatorname{d}\!A_1$ y $\operatorname{d}\!A_2$ dirigido hacia el origen para no tener que lidiar con los ángulos. Los ángulos sólidos de estos detectores serán $\operatorname{d}\!\Omega_1$ y $\operatorname{d}\!\Omega_2$ .
Ahora expreso algunas densidades de probabilidad de detección básicas, donde $p_id_i$ significa que " $p_i$ se emite hacia $d_i$ ".
$\frac{\operatorname{d}\!P(p_1d_1)}{\operatorname{d}\!\Omega_1}=\frac{1}{4\pi} \tag{1}$
$\frac{\operatorname{d}\!P(p_1d_1)}{\operatorname{d}\!A_1}=\frac{1}{4\pi (r_1)^2} \tag{2}$
$\frac{\operatorname{d}\!P(p_2d_2)}{\operatorname{d}\!\Omega_2}=\frac{1}{4\pi} \tag{3}$
$\frac{\operatorname{d}\!P(p_2d_2)}{\operatorname{d}\!A_2}=\frac{1}{4\pi (r_2)^2} \tag{4}$
Creo que no hay duda de que estas probabilidades están bien definidas y las probabilidades de detección integradas en una esfera $4\pi$ -detector es igual a 1, sin importar su radio. Así que un fotón se emite con seguridad hacia un detector que rodea el origen.
Ahora, por alguna razón queremos calcular $P(p_2d_2 | p_1d_1)$ la probabilidad condicional de $p_2$ emitido hacia $d_2$ dado que $p_1$ ha sido emitido hacia $d_1$ . Debido a la colinealidad de los fotones, los eventos individuales no son independientes: $P(p_2d_2 | p_1d_1) \neq P(p_2d_2)$ .
Ahora propongo que
$\frac{\operatorname{d}\!P(p_2d_2 | p_1d_1)}{\operatorname{d}\!\Omega_2} = \frac{\delta(\cos \theta_2(d_1)+1)}{2\pi}, \tag{5}$
donde $\theta_2(d_1)$ es el ángulo polar de la posición de $d_2$ expresado en coordenadas esféricas con eje polar desde el origen por $d_1$ . $\delta$ es la función de Dirac, por lo que obviamente, esta expresión es igual a 0 si $\cos \theta_2(d_1) \neq -1$ es decir, cuando $\theta_2(d_1) \neq \pi$ .
Podemos comprobar que la integral de esta probabilidad sobre una esfera $4\pi$ -detector $d_2$ es igual a 1: con $\operatorname{d}\!\Omega_2 = \operatorname{d}\!\cos \theta_2(d_1) \operatorname{d}\!\phi_2(d_1)$ encontramos
$\int \frac{\operatorname{d}\!P(p_2d_2 | p_1d_1)}{\operatorname{d}\!\Omega_2} \operatorname{d}\!\Omega_2 = \int \frac{\delta(\cos \theta_2(d_1)+1)}{2\pi} \operatorname{d}\!\Omega_2 \tag{6}$
$= \int_0^{2\pi} \frac{1}{2\pi} \operatorname{d}\!\phi_2(d_1) \cdot \int_0^\pi \delta(\cos \theta_2(d_1)+1) \operatorname{d}\!\cos \theta_2(d_1) = 1. \tag{6}$
Así que $p_2$ sigue siendo emitido con seguridad hacia un detector que rodea el origen, sin importar dónde $p_1$ se emite hacia.
Además, queremos comprobar que la ley de la probabilidad total se cumple integrando $P(p_1d_1 \wedge p_2d_2) = P(p_2d_2 | p_1d_1) \cdot P(p_1d_1)$ sobre una esfera $4\pi$ -detector $d_1$ . Esto funciona independientemente de la formulación de $\operatorname{d}\!P(p_1d_1)$ (con respecto a $\operatorname{d}\!\Omega_1$ o $\operatorname{d}\!A_1$ ) que utilizamos -- elegí $\operatorname{d}\!A_1 = (r_1)^2 \operatorname{d}\!\cos \theta_1(d_2) \operatorname{d}\!\phi_1(d_2)$ aquí.
Sin embargo, hay que tener en cuenta que la integración sobre $d_1$ cambia el eje polar utilizado en la formulación de $\operatorname{d}\!P(p_2d_2 | p_1d_1)$ anterior, por lo que necesitamos una formulación diferente, pero equivalente. Esto es más que un cambio de sistema de coordenadas (de un eje polar a otro), porque $\theta_2(d_2)$ no nos ayudaría mucho (es 0). En su lugar, se puede utilizar
$\frac{\operatorname{d}\!P(p_2d_2 | p_1d_1)}{\operatorname{d}\!\Omega_2}=\frac{\delta(\cos \theta_1(d_2)+1)}{2\pi}, \tag{7}$
que utiliza tanto una variable diferente en el argumento del $\delta$ así como un sistema de coordenadas diferente: $\theta_1(d_2)$ es el ángulo polar del detector $d_1$ en coordenadas esféricas con eje polar desde el origen a través de $d_2$ . Obsérvese que ambas expresiones de $\frac{\operatorname{d}\!P(p_2d_2 | p_1d_1)}{\operatorname{d}\!\Omega_2}$ son simétricos en los índices 1 y 2.
Finalmente, llegamos a
$\int \frac{\operatorname{d}\!P(p_1d_1 \wedge p_2d_2)}{\operatorname{d}\!A_1 \operatorname{d}\!\Omega_2} \operatorname{d}\!A_1 = \int_0^{2\pi} \int_0^\pi \frac{1}{4\pi (r_1)^2} \cdot \frac{\delta(\cos \theta_1(d_2)+1)}{2\pi} (r_1)^2 \operatorname{d}\!\cos \theta_1(d_2) \operatorname{d}\!\phi_1(d_2) \tag{8}$
$= \frac{1}{4\pi} \int_0^{2\pi} \frac{1}{2\pi} \operatorname{d}\!\phi_1(d_2) \cdot \int_0^\pi \delta(\cos \theta_1(d_2)-1) \operatorname{d}\!\cos \theta_1(d_2) = \frac{1}{4\pi} = \frac{\operatorname{d}\!P(p_2d_2)}{\operatorname{d}\!\Omega_2} \tag{8}$
Por tanto, se cumple la ley de la probabilidad total: la probabilidad de $p_2$ que se emite hacia $d_2$ puede dividirse en todas las probabilidades condicionales de $p_2$ que se emite hacia $d_2$ dado que $p_1$ ha sido emitido hacia $d_1$ ponderado por la probabilidad de que $p_1$ es en realidad emitido hacia $d_1$ .
Hasta ahora, todo va bien. Enhorabuena por haber leído hasta aquí :)
Como se ha expresado más arriba (y se puede comprobar con relativa facilidad), no importa la formulación de $\operatorname{d}\!P(p_1d_1)$ Yo uso ambos $\operatorname{d}\!\Omega_1$ y $\operatorname{d}\!A_1$ funcionan bien. Sin embargo, cuando intento basar mis cálculos en $\frac{\operatorname{d}\!P(p_2d_2)}{\operatorname{d}\!A_2}$ en lugar de $\frac{\operatorname{d}\!P(p_2d_2)}{\operatorname{d}\!\Omega_2}$ Por lo tanto, trato de calcular $\frac{\operatorname{d}\!P(p_2d_2 | p_1d_1)}{\operatorname{d}\!A_2}$ en lugar de $\frac{\operatorname{d}\!P(p_2d_2 | p_1d_1)}{\operatorname{d}\!\Omega_2}$ Llego al siguiente problema.
Así que empecé con
$\frac{\operatorname{d}\!P(p_2d_2 | p_1d_1)}{\operatorname{d}\!A_2}=\frac{\delta(\cos \theta_2(d_1)+1)}{2\pi (r_2)^2}, \tag{9}$
y (6) se sigue verificando fácilmente (integrando sobre $\operatorname{d}\!A_2$ ), ya que los dos $(r_2)^2$ simplemente se anulan.
Sin embargo, la elaboración de (8) es ahora más compleja cuando se trata de cambiar de un sistema de variables/coordenadas a otro. Me he dado cuenta de que
$\frac{\operatorname{d}\!P(p_2d_2 | p_1d_1)}{\operatorname{d}\!A_2}=\frac{\delta(\cos \theta_1(d_2)+1)}{2\pi (r_2)^2} \tag{10}$
es la expresión que cumple la probabilidad total (puedo demostrarlo, si es necesario), pero ahora me pregunto por qué no es simétrica con la primera expresión en los índices 1 y 2 (como lo era arriba). En concreto, me pregunto dónde está la conexión con un Dirac de un rayo a lo largo de Oz en coordenadas esféricas, que es $\frac{\delta(\cos \theta - 1)}{2\pi r^2}$ (comparar http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=215263 )
De forma más general, estoy trabajando en la expresión de la densidad de probabilidad en 3D, por lo que espero obtener algo como $\operatorname{d}\!\Omega_2 \cdot \delta_{L(x_1, x_2)}(x_0)$ o $\operatorname{d}\!A_2 \cdot \delta_{L(x_1, x_2)}(x_0)$ , donde $L(x_1, x_2)$ es el segmento de línea desde $x_1$ y $x_2$ y $x_0$ es el punto de emisión.
Así que mis preguntas específicas son:
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¿Por qué las expresiones que implican $\operatorname{d}\!A_2$ no son simétricos, mientras que los que implican $\operatorname{d}\!\Omega_2$ ¿lo son?
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En concreto, ¿dónde está la conexión con el Dirac de un rayo en coordenadas esféricas, que implica un $r^2$ y que esperaría que se modificara al convertir de un sistema de coordenadas a otro.
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¿Cómo (si no) puedo obtener una densidad de probabilidad 3D que implique las tres localizaciones, que pueda utilizarse para integrar sobre los tres volúmenes con el fin de describir el número de coincidencias detectadas de las emisiones de un volumen en dos detectores finitos?
